单标签多分类及多标签多分类算法

1、单标签二分类算法

单标签二分类这种问题是我们最常见的算法问题，主要是指label标签的取值只有两种，并且算法中只有一个需要预测的label标签。直白来讲就是每个实例的可能类别只有两种（A or B）。此时的分类算法其实是在构建一个分类线将数据划分为两个类别。常见的算法有：Logistic、SVM、KNN等。
y = f ( x ) , y ∈ { − 1 , + 1 } y=f(x),\ \ \ \ \ y\in\{-1, +1\} y=f(x), y∈{−1,+1}

Logistic算法

s i g m o i d = h θ ( x ) = 1 1 + e − θ T x J ( θ ) = − 1 m [ ∑ i = 1 m y ( i ) log ⁡ h θ ( x ( i ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] , y ( i ) ∈ { 0 , 1 } \begin{aligned} sigmoid&=h_{\theta}(x) \\ &=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}} \\ J(\theta)&=-\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^my^{(i)}\log h_{\theta}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))], \ \ \ \ \ y^{(i)}\in\{0, 1\} \end{aligned} sigmoidJ(θ)=hθ(x)=1+e−θTx1=−m1[i=1∑my(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))], y(i)∈{0,1}

2、单标签多分类算法

单标签多分类问题其实是指待预测的label标签只有一个，但是label标签的取值可能有多种情况。直白来讲就是每个实例的可能类别有K种 ( t 1 , t 2 , … , t k , k ≥ 3 ) (t_1, t_2, \dots, t_k ,k\ge3) (t1,t2,…,tk,k≥3)。常见算法：Softmax、KNN等。
y = f ( x ) , y ∈ { t 1 , t 2 , … , t k } D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) } y i = j , i = 1 , 2 , … , n j = 1 , 2 , … , k \begin{aligned} y&=f(x),\ \ \ \ \ \ y\in\{t_1, t_2, \dots, t_k\} \\ D&=\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\} \\ y_i&=j, \ \ \ \ i=1, 2, \dots, n \ \ \ \ j=1, 2, \dots, k \end{aligned} yDyi=f(x), y∈{t1,t2,…,tk}={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}=j, i=1,2,…,n j=1,2,…,k

Softmax算法

p ( y = k ∣ x ; θ ) = e θ k T x ∑ l = 1 K e θ l T x , k = 1 , 2 , … , K h θ ( x ) = [ p ( y ( i ) = 1 ∣ x ( i ) ; θ ) p ( y ( i ) = 2 ∣ x ( i ) ; θ ) … p ( y ( i ) = k ∣ x ( i ) ; θ ) ] = 1 ∑ j = 1 k e θ j T x ( i ) ⋅ [ e θ 1 T x e θ 2 T x … e θ k T x ] ⟹ θ = [ θ 11 θ 12 ⋯ θ 1 n θ 21 θ 22 ⋯ θ 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ θ k 1 θ k 2 ⋯ θ k n ] J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m ∑ j = 1 k I ( y ( i ) = j ) log ⁡ ( e θ j T x ( i ) ∑ l = 1 K e θ l T x ) I ( y ( i ) = j ) = { 1 , y ( i ) = j 0 , y ( i ) ≠ j \begin{aligned} p(y=k|x;\theta)&=\frac{e^{\theta_k^Tx}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx}}, \ \ \ \ \ k=1, 2, \dots, K \\ h_{\theta}(x)&=\begin{bmatrix} p(y^{(i)}=1|x^{(i)};\theta) \\ p(y^{(i)}=2|x^{(i)};\theta) \\ \dots \\ p(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta) \end{bmatrix} \\ &=\frac{1}{\sum_{j=1}^ke^{\theta_j^Tx^{(i)}}}\cdot\begin{bmatrix} e^{\theta_1^Tx} \\ e^{\theta_2^Tx} \\ \dots \\ e^{\theta_k^Tx} \end{bmatrix} \\ \Longrightarrow \theta&=\begin{bmatrix} \theta_{11} & \theta_{12} & \cdots & \theta_{1n} \\ \theta_{21} & \theta_{22} & \cdots & \theta_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta_{k1} & \theta_{k2} & \cdots & \theta_{kn} \end{bmatrix} \\ J(\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^kI(y^{(i)}=j)\log(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx}}) \\ I(y^{(i)}=j)&=\begin{cases} 1, &y^{(i)}=j \\ 0, &y^{(i)}\ne j \end{cases} \end{aligned} p(y=k∣x;θ)hθ(x)⟹θJ(θ)I(y(i)=j)=∑l=1KeθlTxeθkTx, k=1,2,…,K=⎣⎢⎢⎡p(y(i)=1∣x(i);θ)p(y(i)=2∣x(i);θ)…p(y(i)=k∣x(i);θ)⎦⎥⎥⎤=∑j=1keθjTx(i)1⋅⎣⎢⎢⎡eθ1Txeθ2Tx…eθkTx⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡θ11θ21⋯θk1θ12θ22⋯θk2⋯⋯⋯⋯θ1nθ2n⋯θkn⎦⎥⎥⎤=−m1i=1∑mj=1∑kI(y(i)=j)log(∑l=1KeθlTxeθjTx(i))={1,0,y(i)=jy(i)=j
在实际的工作中，如果是一个多分类的问题，我们可以将这个待求解的问题转换为二分类算法的延伸，即将多分类任务拆分为若干个二分类任务求解，具体的策略如下：
（1）One-Versus-One（ovo）：一对一
将K个类别中的两两类别数据进行组合，然后使用组合后的数据训练出来一个模型，从而产生K(K-1)/2个分类器，将这些分类器的结果进行融合，并将分类器的预测结果使用多数投票的方式输出最终的预测结果值。

（2）One-Versus-All / One-Versus-the-Rest（ova/ovr）：一对多
在一对多模型训练中，不是两两类别的组合，而是将每一个类别作为正例，其它剩余的样例作为反例分别来训练K个模型。然后在预测的时候，如果在这K个模型中，只有一个模型输出为正例，那么最终的预测结果就是属于该分类器的这个类别。如果产生多个正例，那么则可以选择根据分类器的置信度作为指标，来选择置信度最大的分类器作为最终结果，常见置信度：精确度、召回率。

（3）Error Correcting Output codes（纠错码机制）：多对多
将模型构建应用分为两个阶段：编码阶段和解码阶段。编码阶段中对K个类别中进行M次划分，每次划分将一部分数据分为正类，一部分数据分为反类，每次划分都构建出来一个模型，模型的结果是在空间中对于每个类别都定义了一个点。解码阶段中使用训练出来的模型对测试样例进行预测，将预测样本对应的点和类别之间的点求距离，选择距离最近的类别作为最终的预测类别。

3、多标签多分类算法

Multi-Label Machine Learning（MLL算法）是指预测模型中存在多个y值，具体分为两类不同情况：

多个待预测的y值
在分类模型中，一个样例可能存在多个不固定的类别

根据多标签业务问题的复杂性，可以将问题分为两大类：

待预测值之间存在相互的依赖关系
待预测值之间是不存在依赖关系的

对于这类问题的解决方案可以分为两大类：

转换策略（Problem Transformation Methods）
算法适应（Algorithm Adaptation）

（1）Problem Transformation Methods
该方法又叫做策略转换或者问题转换，是一种将多标签的分类问题转换成为单标签模型构造的问题，然后将模型合并的一种方法，主要有以下几种方式：

Binary Relevance（first-order）
Classifier Chains（high-order）
Calibrated Label Ranking（second-order）

Binary Relevance

Binary Relevance的核心思想是将多标签分类问题进行分解，将其转换为q个二元分类问题，其中每个二元分类器对应一个待预测的标签。
Binary Relevance方式的优点如下：

实现方式简单，容易理解
当y值之间不存在相关的依赖关系的时候，模型的效果不错

Binary Relevance方式的缺点如下：

如果y之间存在相互的依赖关系，那么最终构建的模型的泛化能力比较弱
需要构建q个二分类器，q为待预测的y值数量，当q比较大的时候，需要构建的模型会比较多

Classifier Chains

Classifier Chains的核心思想是将多标签分类问题进行分解，将其转换成为一个二元分类器链的形式，其中后链的二元分类器的构建是在前面分类器预测结果的基础上的。在模型构建的时候，首先将标签顺序进行shuffle打乱排序操作，然后按照从头到尾分别构建每个标签对应的模型。
Classifier Chains方法的优点如下：

实现方式相对比较简单，容易理解
考虑标签之间的依赖关系，最终模型的泛化能力相对于Binary Relevance方式构建的模型效果要好

缺点如下：

很难找到一个比较适合的标签依赖关系

Calibrated Label Ranking

Calibrated Label Ranking的核心思想是将多标签分类问题进行分解，将其转换为标签的排序问题，最终的标签就是排序后最大的几个标签值。
Calibrated Label Ranking 方法的优点如下：

考虑了标签两两组合的情况，最终的模型相对来讲泛化能力比较好

Calibrated Label Ranking 方法的缺点如下：

只考虑两两标签的组合，没有考虑到标签与标签之间的所有依赖关系

（2）Algorithm Adaptation
Algorithm Adaptation又叫做算法适应性策略，是一种将现有的单标签的算法直接应用到多标签上的一种方式，主要有以下几种方式：

ML-kNN
ML-DT

ML-kNN

ML-kNN的思想：对于每一个实例来讲，先获取距离它最近的k个实例，然后使用这些实例的标签集合，通过最大后验概率（MAP）来判断这个实例的预测标签集合的值。
最大后验概率（MAP）：其实就是在最大似然估计（MLE）中加入了这个要估计量的先验概率分布。
θ ^ M L E ( x ) = arg ⁡ max ⁡ θ f ( x ∣ θ ) θ ^ M A P ( x ) = arg ⁡ max ⁡ θ f ( x ∣ θ ) g ( θ ) ∫ θ f ( x ∣ θ ′ ) g ( θ ′ ) d θ ′ = arg ⁡ max ⁡ θ f ( x ∣ θ ) g ( θ ) \begin{aligned} \hat{\theta}_{MLE}(x)&=\arg\max_{\theta}f(x|\theta) \\ \hat{\theta}_{MAP}(x)&=\arg\max_{\theta}\frac{f(x|\theta)g(\theta)}{\int_{\theta}f(x|\theta')g(\theta')d\theta'} \\ &=\arg\max_{\theta}f(x|\theta)g(\theta) \end{aligned} θ^MLE(x)θ^MAP(x)=argθmaxf(x∣θ)=argθmax∫θf(x∣θ′)g(θ′)dθ′f(x∣θ)g(θ)=argθmaxf(x∣θ)g(θ)

ML-DT

ML-DT是使用决策树处理多标签内容，核心在于给予更细粒度的信息熵增益准则来构建这个决策树模型。
e n t r y = ∑ j = 1 q [ − p j log ⁡ p j − ( 1 − p j ) log ⁡ ( 1 − p j ) ] p j = ∑ i = 1 n ∣ ∣ y j ∈ Y i ∣ ∣ n \begin{aligned} entry&=\sum_{j=1}^q[-p_j\log p_j-(1-p_j)\log(1-p_j)] \\ p_j&=\frac{\sum_{i=1}^n||y_j\in Y_i||}{n} \end{aligned} entrypj=j=1∑q[−pjlogpj−(1−pj)log(1−pj)]=n∑i=1n∣∣yj∈Yi∣∣

4、多标签多分类在Scikit-learn中的实现方式

在Scikit-learn中使用OneVsRestClassifier对多标签进行分类操作，内部其实是将多标签问题转换为多类别的区分问题。