某 SCOI 模拟赛 T3 s3mple【生成函数拉格朗日插值】

题意

对于序列 a a a，记 v i v_i vi 为位置距离 a i a_i ai 最近的、比 a i a_i ai 大的数与它的距离（假设 a 0 a_0 a0 和 a n + 1 a_{n+1} an+1 都为无穷大）。

T T T 次询问，给定 n , x n,x n,x，求有多少长度为 n n n 的排列 p p p 使得 ∑ i = 1 n v i = x \sum\limits_{i=1}^nv_i=x i=1∑nvi=x。答案对给定的质数 P P P 取模。 n ≤ 200 n\leq 200 n≤200， T ≤ 10 T\leq 10 T≤10。

题解

记 F i F_i Fi 为长为 i i i 的排列的生成函数，系数为 ∑ v i \sum v_i ∑vi。通过枚举最大值的位置容易通过 F 0 ∼ F i − 1 F_0\sim F_{i-1} F0∼Fi−1 得到 F i F_i Fi。

冷静打表分析一波可知 ∑ v i \sum v_i ∑vi 最大是 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn) 的，记 max ⁡ ∑ v i \max{\sum v_i} max∑vi 为 V V V。

用 F i F_i Fi 的从 1 到 V + 1 V+1 V+1 的点值来计算，转移的总复杂度为 n l o g n n^log n nlogn。

每次询问随便拉格朗日插值一下，单次询问复杂度为 n 2 log ⁡ n n^2\log n n2logn

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getint(){int ans=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+c-'0';c=getchar();}return ans*f;
}
const int V=750,N=210;
int mod=0;
int queryn[20],queryx[20];
int maxv[N];
int p[V][V];
int f[N][V];
int inv[V];
int c[N][N];
int pre[V][V],suf[V][V];//\prod (x-i)int qpow(int x,int y){int ans=1;while(y){if(y&1)ans=ans*1ll*x%mod;x=x*1ll*x%mod;y>>=1;}return ans;
}void init(int n,int v){for(int i=0;i<=v;i++){p[i][0]=1;for(int j=1;j<=v;j++){p[i][j]=p[i][j-1]*1ll*i%mod;}}c[1][1]=1;for(int i=2;i<=n+1;i++){for(int j=1;j<=i;j++){c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;}}for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++)c[i][j]=c[i+1][j+1];for(int i=1;i<=v;i++)inv[i]=qpow(i,mod-2);for(int i=1;i<=v;i++)f[0][i]=1,f[1][i]=i;for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i/2;j++){//x^j f(j-1)f(i-j) C(i-1,j-1)for(int k=1;k<=v;k++){f[i][k]=(f[i][k]+p[k][j]*2ll*f[j-1][k]%mod*f[i-j][k]%mod%mod*c[i-1][j-1])%mod;}}if(i&1){int j=(i+1)>>1;for(int k=1;k<=v;k++){f[i][k]=(f[i][k]+p[k][j]*1ll*f[j-1][k]%mod*f[i-j][k]%mod*c[i-1][j-1])%mod;}}//for(int j=1;j<=v;j++)cerr<<" "<<f[i][j];cerr<<endl;}pre[0][0]=1;for(int i=1;i<=v;i++){pre[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++){pre[i][j]=(pre[i-1][j]+pre[i-1][j-1]*1ll*(mod-i))%mod;}}suf[v+1][0]=1;for(int i=v;i>=1;--i){suf[i][0]=1;for(int j=1;j<=v-i+1;j++){suf[i][j]=(suf[i+1][j]+suf[i+1][j-1]*1ll*(mod-i))%mod;}}
}int calc(int m,int p){int ans=0;for(int i=0;i<=m;i++){ans=(ans+pre[p-1][i]*1ll*suf[p+1][m-i])%mod;}return ans;
}
int solve(int n,int x,int lim){if(x>maxv[n])return 0;int res=0,p=0;for(int i=1;i<=lim;i++){p=f[n][i];//yfor(int j=1;j<=lim;j++){if(i==j)continue;p=p*1ll*(i>j?inv[i-j]:mod-inv[j-i])%mod;}res=(res+p*1ll*calc(lim-x-1,i))%mod;}return res;
}signed main(){mod=getint();int q=0;while(cin>>queryn[q]>>queryx[q])q++;int mxn=0,mxx=0;for(int i=0;i<q;i++){mxn=max(mxn,queryn[i]);mxx=max(mxx,queryx[i]);}maxv[1]=1;for(int i=2;i<=mxn;i++)for(int j=1;j<=i;j++)maxv[i]=max(maxv[i],maxv[j-1]+maxv[i-j]+min(j,i-j+1));mxx=maxv[mxn]+1;init(mxn,mxx);for(int i=0;i<q;i++){int n=queryn[i],x=queryx[i];printf("%d\n",solve(n,x,mxx));}return 0;
}

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