自己对PID一些学习总结
目录
- 前言
- 前期准备
- 过程
- pid的基础
- 比例控制
- 积分控制
- 微分控制
- PID控制
- 位置式和增量式
前言
最近在学习关于PID的一些知识,记录一下。
前期准备
- MATALAB R2020b
过程
pid的基础
PID即:Proportional(比例)、Integral(积分)、Differential(微分)的缩写。顾名思义,PID控制算法是结合比例、积分和微分三种环节于一体的控制算法,它是连续系统中技术最为成熟、应用最为广泛的一种控制算法。PID控制的实质就是根据期望与测量的偏差值,按照比例、积分、微分的函数关系进行运算,运算结果用以控制输出,使得被控对象保持在一个稳定状态。
系统由PID控制器和被控对象组成,原理框图如下
误差e(t)=r(t)−u(t)e(t)=r(t)-u(t)e(t)=r(t)−u(t)
连续控制系统的理想PID控制规律为:
u(t)=Kp(e(t)+1Ti∫0te(t)dt+Tdde(t)dt).u(t) = K_p\left(e(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^t e(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt}\right). u(t)=Kp(e(t)+Ti1∫0te(t)dt+Tddtde(t)).
式中
KpK_pKp---- 控制器增益,比例系数,与比例度成倒数关系
TiT_iTi------积分时间常数
TdT_dTd------微分时间常数
e(t)e(t)e(t)------期望值与测量值之差
kpk_pkp—成比例地反映控制系统的偏差信号,偏差一旦产生,立即产生控制作用以减小偏差(图中的 KpK_pKp,等同)
kik_iki—主要用于消除静差提高系统的无差度。积分作用的强弱,取决于积分时间常数 TiTiTi,TiTiTi越大积分作用越弱,反之则越强(图中的 KpTi\frac{K_p}{T_i}TiKp)
kdk_dkd—微分环节的作用能反映偏差信号的变化趋势(变化速率),并能在偏差信号的值变得太大之前,在系统中引入一个有效的早期修正信号,从而加快系统的动作速度,减小调节时间(图中的 Kp⋅Td{K_p}\cdot{T_d}Kp⋅Td)
比例控制
利用matlab仿真来观察各个系数对曲线的影响,首先,搭建模型,将ki,kd=0k_i,k_d=0ki,kd=0,如下图
仿真结果如下图
从仿真图中可以看出,比例系数kpk_pkp越小,控制作用越小,系统响应越慢;反之,比例系数kpk_pkp越大,控制作用也越强,系统响应也越快。它能迅速反映偏差,从而减小偏差,但不能消除静差(静差是指系统控制过程趋于稳定时,给定值与输出量的实测值之差)。但是,kpk_pkp过大会使系统产生较大的超调和振荡,导致系统的稳定性能变差。
比例控制具有抗干扰能力强、控制及时、过渡时间短的优点,但存在稳态误差,增大比例系数可提高系统的开环增益,减小系统的稳态误差,从而提高系统的控制精度,但这会降低系统的相对稳定性,甚至可能造成闭环系统的不稳定,因此,在系统校正和设计中,比例控制一般不单独使用。
说到可提高系统的开环增益,就要看下图,KKK就是开环增益,而kp⋅Kk_p \cdot Kkp⋅K提高了原本的开环增益,使得分母增大,进而减小稳态误差。
那为什么kpk_pkp过大会使系统产生较大的超调和振荡,导致系统的稳定性能变差呢?
我们先来看看它的根轨迹,如下图所示
从图中可以看出,系统的极点都在s平面的左半平面(特征根具有负实部),根据线性系统稳定的充分必要条件可知,系统是稳定的,也就是说最后响应曲线能稳定在某一个值上,但是如何到达稳定,就得具体分析。
我们可以看到系统传递函数只有比例作用时的传递函数Gk(s)=kp(3s+1)(2s+1),H(s)=1Gk(s)=\frac{k_p}{(3s+1)(2s+1)},H(s)=1Gk(s)=(3s+1)(2s+1)kp,H(s)=1
闭环传递函数Φ(s)=kp6s2+5s+kp+1\Phi(s)=\frac{k_p}{6s^2+5s+k_p+1}Φ(s)=6s2+5s+kp+1kp
可以看出,因为不是标准的二阶系统,可以拆成比例环节乘以震荡环节,也就是把分子kpk_pkp提出来,Φ(s)=kpkp+1⋅kp+16s2+5s6+kp+16\Phi(s)=\frac{k_p}{k_p+1}\cdot \frac{\frac{k_p+1}{6}}{s^2+{\frac{5s}{6}}+{\frac{k_p+1}{6}}}Φ(s)=kp+1kp⋅s2+65s+6kp+16kp+1
所以二阶系统的阻尼比ζ=5612kp+1\zeta={\frac{5\sqrt{6}}{12\sqrt{{k_p+1}}}}ζ=12kp+156,ωn=kp+16\omega_n=\sqrt{\frac{k_p+1}{6}}ωn=6kp+1
很明显,将kpk_pkp代入,我们可以得到阻尼比是小于1的,也就是欠阻尼。而欠阻尼系统的响应是有超调的,而且随着阻尼比越小,超调越大,上升时间越短。所以kpk_pkp越大,阻尼比越小,所以不能一直提高kpk_pkp的值。
我们也可以从上面那个根轨迹图来判断,首先,我们知道根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
从图中看出,临界阻尼和过阻尼都是在实轴上,而欠阻尼却变成了共轭复根,根据根轨迹图,当kpk_pkp(或开环增益)继续增大,那么根轨迹就会往共轭复根处跑,也就会成为欠阻尼了,而且越远离实轴,阻尼比也就越小,超调也会越大。
积分控制
从图中可以看出仅凭kpk_pkp是不能将曲线调到预定位置,而是和期望值始终有一个稳定的偏差,所以我们需要加上积分系数kik_iki,用来进行无差调节,如下图所示
从图中可以看出,随着kik_iki增大,曲线响应速度加快,产生的超调增大。
加入积分控制后,消除了系统稳态误差,但随着Ti{T_i}Ti值的增大,达到稳态的过渡时间也逐渐加长。
积分项对误差取决于时间的积分,随着时间的增加,积分项会增大。这样,即使误差很小,积分项也会随着时间的增加而加大,它推动控制器的输出增大,使稳态误差进一步减小,直到等于零,但会使系统稳定性降低,过渡时间也加长。
我们可以看到公式中的KpTi\frac{K_p}{T_i}TiKp,积分作用的强弱,取决于积分时间常数 TiT_iTi,TiT_iTi越大积分作用越弱,反之则越强。又可以从图中看出,kpk_pkp同样的情况下,由式子ki=KpTiki=\frac{K_p}{T_i}ki=TiKp,kik_iki越大,说明Ti{T_i}Ti越小,积分作用越强,超调越大。所以增大积分时间Ti{T_i}Ti有利于减小超调,减小振荡,使系统的稳定性增加,但是系统静差消除时间变长(ki=0.1k_i=0.1ki=0.1)。图中的ki=1.2k_i=1.2ki=1.2减少了积分时间,发生了超调,系统出现振荡而且静差消除时间变长。
(补充:单独用积分控制可以提高系统的型别,有利于系统稳态性能的提高,但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点,使信号产生90°的相角滞后,减少了系统的相角裕度,于系统的稳定性不利。)
微分控制
在调节微分环节的时候,如下图
仿真图如下
微分环节的作用能反映偏差信号的变化趋势(变化速率),并能在偏差信号的值变得太大之前,在系统中引入一个有效的早期修正信号,从而加快系统的动作速度,减小调节时间。
可以从图中看出,随着kdk_dkd增大,曲线调节时间变快,产生的超调减小。
微分环节有助于系统减小超调,克服振荡,减小调节时间,从而改善了系统的动态性能,但微分时间常数过大,会使系统出现不稳定。微分控制作用一个很大的缺陷是容易引入高频噪声,所以在干扰信号比较严重的流量控制系统中不宜引入微分控制作用,或者说使得系统的固有频率增大[9],固有频率增大会越接近高频噪声的频率,使得整个系统产生共振,而共振会导致机械系统损坏。
参考[3]@李崇的回答,从根轨迹的角度来说,D环节相当于引入了新的零点(kp+kd⋅s)Gk(s)(k_p+k_d \cdot s)Gk(s)(kp+kd⋅s)Gk(s),使得系统的极点向左半平面移动,使得稳定裕度更大。有些自身不稳定的系统,只靠PI是不能够变稳定的,需要新的零点把闭环特征根给吸引到左半平面来。
有一个系统开环传函Gk=1s2Gk=\frac{1}{s^2}Gk=s21根轨迹的仿真图如下
可以看出根轨迹在虚轴上,可以知道拥有在虚轴上的特征根的闭环系统响应是等幅震荡的。而我们通常以开环增益kkk作为某一参数,也就是说无论开环增益kkk如何变化,根轨迹始终都在虚轴上,系统响应都是等幅震荡。
我们将零点加上去Gk(s)=s+1s2Gk(s)=\frac{s+1}{s^2}Gk(s)=s2s+1根轨迹的仿真图如下
从图中可以看出,加入零点后,系统的特征根除了原点外全都往左半平面跑了,而且随着开环增益的增大,系统变得稳定,系统的特征根越远离虚轴。
我们知道伯德图是系统频率响应的一种图示方法,利用伯德图可以看出在不同频率下,系统增益的大小及相位,也可以看出增益大小及相位随频率变化的趋势,还可以对系统稳定性进行判断。Gk(s)=s+1Gk(s)={s+1}Gk(s)=s+1bode图仿真图如下
可以看出,随着频率增大,系统增益也随之增大,幅值变大,把小的尖刺给放大,这也就是微分会使高频噪声放大。参照[3],输入信号sin(10t)+0.01sin(100t)sin(10t)+0.01sin(100t)sin(10t)+0.01sin(100t)具体看图
算是低频的微分图
高频的微分图
两个函数叠加
从上图看出,随着频率增大,微分后出现尖刺。
可以来个更明显的
从图中就可以看出,当高频噪声的幅值提高十倍的时候,随着频率的增大,微分后出现尖刺更多也更密集。
如此看来,当系统中拥有高频噪声时,使用微分环节会造成系统响应含有更多的尖刺,而不是平滑的图像,造成系统震荡。
(补充:在PID控制中,加入微分项相当于加入了阻尼,这样可以使震荡快速衰减,变得稳定。)
PID控制
PID控制通过积分作用消除误差,而微分控制可缩小超调量、减少调节时间,是综合了PI控制和PD控制长处并去除其短处的控制。
位置式和增量式
数字 PID 控制算法因时间离散化不同,通常分为位置式 PID 控制算法和增量式 PID 控制算法,具体文章可参考[7]
有几点需要记住:
① 最大超调量是响应曲线的最大峰值与稳态值的差,是评估系统稳定性的一个重要指标;上升时间是指响应曲线从原始工作状态出发,第一次到达输出稳态值所需的时间,是评估系统快速性的一个重要指标;静差是被控量的稳定值与给定值之差,一般用于衡量系统的准确性。
② 关于积分积累误差,可以想象成用高度1米水缸接水。比如期望是接满1米,水龙头开始放水,放到水缸80厘米,然后把水龙头关掉,水缸里的水高度和期望相差20厘米,即使没有了输入,误差也会保持不变,这就是积分作用,水缸本身就是个积分结构,能把水一直储存下来。而如果是直流电机,一旦没有了输入,那么误差就会变成期望减去零,因为它本身没有积分结构,这时就需要积分作用来在它误差为零时,保持它的转速稳定在期望值。更多详细可以参考文章[5][6]
③饱和是执行机构的一个特性,定义为:一开始因变量会随着自变量的增大而增大,而当自变量到达某个特定范围时,因变量将不再随着自变量的增大而有明显的改变,而是不断逼近或停止在某个最大值附近。我的理解是开门只能开180°,但是你非要开360°,那肯定是不行的,因为门已经被墙卡住了。但是因为有积分环节,它会一直累积误差,输出360°,但是门却被墙卡住了,转不到360°。然后你又想关门,这时系统会从360°开始减小角度,实际门却没有动,等到输出小于180°的时候门才会有动作,你会觉得这个反应不是很灵敏,这是因为有一段时间是等待系统从积分饱和出来,减到180°,门才会有动作。
参考文章
[1] 深入浅出PID控制算法
[2] PID
[3] PID 的微分环节主要作用是什么
[4] PID中Kp,Ki,Kd跟Kp,Ti,Ti之间的关系式
[5] pid控制器输出的量到底是什么
[6] 如何通俗地解释 PID 参数整定
[7] 位置式与增量式PID
[8] 积分饱和
[9]九、控制与pid
[10]关于固有频率及阻尼
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