6.1数值积分的概率——随堂测验

6.2求积公式的代数精度

6.3插值型数值求积公式

6.4Newton-Cotes求积公式

6.5复化求积公式

6.9Gauss型求积公式的一般理论

6.10几种Gauss型求积公式

单元作业一

单元作业二

单元作业三

6.1数值积分的概率——随堂测验

题目1：

左矩形求积公式 $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx f(a)f(b-a)$ 的截断误差为（A）

A. $\frac{(b-a)^{2}}{2}f^{'}(\eta ),\eta\in (a,b)$

B. $-\frac{(b-a)^{2}}{2}f^{'}(\eta ),\eta\in (a,b)$

C. $\frac{(b-a)^{2}}{2}f^{''}(\eta ),\eta\in (a,b)$

D. $\frac{(b-a)^{3}}{2}f^{'}(\eta ),\eta\in (a,b)$

题目2：

中矩形求积公式 $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx f(\frac{a+b}{2})f(b-a)$ 的截断误差（A）

A. $\frac{(b-a)^{3}}{24}f^{''}(\eta ),\eta\in (a,b)$

B. $\frac{(b-a)^{2}}{24}f^{'}(\eta ),\eta\in (a,b)$

C. $\frac{(b-a)^{3}}{12}f^{''}(\eta ),\eta\in (a,b)$

D. $\frac{(b-a)^{2}}{12}f^{''}(\eta ),\eta\in (a,b)$

截断误差来源：由于我们实际运算只能进行有限位的运算，像无穷以及极限过程我们需要进行有限化截断处理，这样产生的误差就叫截断误差。

举个栗子：

比如说多项式：

$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ 其中 $n$ 为 $+\infty$

在工程计算过程中，考虑到计算能力的限制，通常在精度允许的条件下，取前i限作为y的计算值，则从i+1到第n项就为y的截断误差e。

$e=a_{i+1}x^{i+1}+a_{i+2}x^{i+2}+...+a_{n}x^{n}$

6.2求积公式的代数精度

题目1：

数值积分公式 $\int_{0}^{3}f(x)dx\approx \frac{3}{2}[f(1)+f(2)]$ 的代数精度为（A）

A、1

B、2

C、3

D、4

题目2：

数值积分公式 $\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx \frac{2}{9}[f(-1)+8f(0)+f^{'}(1)]$ 的代数度为（B）

A、1

B、2

C、3

D、4

解题过程如下：

6.3插值型数值求积公式

题目1：

已知等距节点的插值型求积公式 $\int_ {2}^{5}f(x)dx\approx \sum_{k=0}^{3}A_{k}f(x_{k})$ ，那么 $\sum_{k=0}^{3}A_{k}=$ （C）

A、1

B、2

C、3

D、4

题目2：

n个求积节点的插值型求积公式的代数精度少为（A）次

A、n-1

B、n

C、n+1

D、2n-1

定理：对于给定的n+1个（相异）节点 $x_{k}$ ，k=0,1,2，……，n,总存在求积系数 $A_{k}$ ，使得求积公式 $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \sum_{k=0}^{n}A_{k}f(x_{k})$ 至少有n次代数精度。

6.4Newton-Cotes求积公式

题目1：

Simpson求积公式的代数度为（C）

A、1

B、2

C、3

D、4

题目2、

当n=6时，Newton-Cotes求积公式至少具有（B）次代数精度

A、6

B、7

C、8

D、9

牛顿-柯特斯公式的代数精度：

当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式有n+1次代数精度

Simpson（辛普森）公式是n=2时的牛顿-柯特斯公式，至少有3次代数精度。

6.5复化求积公式

6.9Gauss型求积公式的一般理论

6.10几种Gauss型求积公式

单元作业一

题目1：

分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： $\int _{0}^{1}\frac{x}{4+x^{2}}dx$

单元作业二

单元作业三

剩余的内容会尽量更新的。。。单元作业三的计算量太大了，头快算秃了，准备用MATLAB实现一下。如果发现我有些地方写错的，可以私信跟我留言啦！与君共勉！！！

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