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粒子在施瓦西黑洞内部是如何运动的？ - 知乎

一、何为施瓦西黑洞？

一谈到黑洞，大部分人可能会形象的将其看作是巨大的质量集中到了一起后形成的状态，也有的朋友知道大质量恒星晚年会塌缩成黑洞。于是，大部分人脑中的黑洞是如图1 所示的样子的。

图1 很多人想象的黑洞的样子

其实很多朋友可能不知道，我们常说的黑洞（也是最简单的一种黑洞）叫做施瓦西黑洞，它其实是爱因斯坦场方程的真空解！所谓真空解，就是没有物质和能量的条件下得到的解。

1915年，爱因斯坦推导得出了著名的广义相对论场方程

Rab−12⋅R⋅gab=8πGc4⋅Tab

右边的 Tab 表示物质的能动张量，左边则是里奇张量及四维时空的度规。这个方程看似简洁，其实却复杂得超出一般人的想象。要想找出这个方程的解析解，难度极大。

解决复杂的问题，当然要从最简单的入手，于是人们首先盯上的就是找到当 Tab≡0 时的解。 Tab 恒为零，意味着时空中没有物质和能量，所以这种解被称为爱因斯坦场方程的真空解。

最简单、直接，也是最平凡的真空解就是平直的四维时空——闵可夫斯基时空，也就是狭义相对论适用的背景时空。这个结论很容易知道，并没有什么了不得的。闵氏时空的线元表达式为

笛卡尔坐标系下： ds2=−c2⋅dt2+dx2+dy2+dz2

球坐标系下：ds2=−c2⋅dt2+dr2+r2⋅dθ2+r2⋅sin2θ⋅dϕ2

线元表达式明确了在相应坐标系下的时空度规各分量，从而时空的黎曼曲率张量、里奇张量等就都确定了。我们求解爱因斯坦场方程，其实就是找到在某种物质和能量分布的状态下的时空度规。

闵氏时空虽然是爱因斯坦场方程的一种真空解，可场方程的真空解并不是只有闵氏时空一种。在爱因斯坦广义相对论发表的一年后，场方程的第一个非平凡真空解——施瓦西（Schwarzschild）真空解——被求得了。这是一个球对称的时空，因此其线元一般被基于球坐标系下表达为

ds2=−(c2−2GMr)⋅dt2+(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2+r2⋅dθ2+r2sin2θ⋅dϕ2 ......(1)

式（1）中的 c 是真空中的光速，G 是万有引力常数，M 则是另外一个常数。通过对比牛顿万有引力定律，当把 r 很大时的引力场看作是牛顿引力的近似时，我们得到了 M 就是中央星体的质量。另外，从小学我们就学过，0 不能作为分母。从而，式（1）的线元表达式中必须要求 r≠0 且 r≠2GMc2 。

再强调下，施瓦西解是一种真空解，这意味着它所描绘的时空中是没有物质和能量分布的。因此，施瓦西黑洞应该用图2 来表示。

图2 施瓦西黑洞的真正状态

图2中的虚线所对应的球面正是 r=2GMc2 的那个球面，虽然在球坐标系下的线元表达式不允许 r=2GMc2 ，但数学计算表明这个球面的位置属于坐标奇点，通过坐标变换可以消除，并不是真正的奇点。施瓦西真空解中只有一个奇点，那就是球心所在的 r=0 处，施瓦西时空中是不包括这个点的。除了不被包括进来的球心外，施瓦西时空的各处都是没有任何物质和能量的、空空荡荡的状态。

有的朋友会问了，既然施瓦西时空中没有物质和能量分布，那么质量 M 是从哪里来的呢？是的，在施瓦西时空中没有 M 的存身之所，所以，我们只能认为 M 来自于被施瓦西时空剔除掉的球心位置的那个点。这也是为什么很多科普文章都会说黑洞中心是一个体积无穷小、密度无穷大的点的原因。

我们知道，如果不考虑遥远的太阳、忽略相对地球而言质量较小的月亮，我们地球外部就是一个空空荡荡的时空，没有物质和能量。因此地球外部的时空状态其实就符合施瓦西真空解中 r>2GMc2 的部分，用施瓦西真空解来描述地球外部的引力场要比牛顿万有引力公式给出的结论更精确。当然，由于地球质量放在宇宙中来看实在不大，它所引起的时空弯曲程度很小，所以牛顿引力已经足够精确了。我们发射卫星、载人航天只需要使用牛顿万有引力公式就足够了。但是，如果因为某种特殊原因我们确实需要更精准的测量时——比如日常使用的卫星定位需要高精度计时时，就需要考虑广义相对论效应了，此时就需要利用上面的施瓦西真空解来计算。

那么地球内部的时空是否也符合施瓦西真空解呢？很遗憾，由于地球半径（约6400公里）远大于对应地球质量的 2GMc2 （约8.8毫米），所以对地球来说，r 小于6400公里后的时空中填满了地球的组成物质，不再是真空状态了，自然也就不符合施瓦西真空解了。

那如果茫茫宇宙中真的存在 r<2GMc2 的真空区域会怎样呢？那就形成了我们今天的主角——施瓦西黑洞。我们把图2中去除球心后的虚线球面以内的部分称为黑洞（Black Hole）。

事实上，宇宙中真的存在着黑洞。在1980年以前，人们还不能确认黑洞的存在，但是如今我们已经很确定存在着黑洞这种时空状态了。这样一个诡异的时空看上去会是什么样子呢？当然，要想看它就必须有光，我们假设宇宙深远地方的恒星照射的光经过了施瓦西黑洞，并最终被我们看到，那么严格地计算表明，施瓦西黑洞从各个角度看过去大概会是图3 这个样子。

图3 考虑了吸积盘效应和多普勒集束效应后不同角度的施瓦西黑洞看上去大概的样子

施瓦西黑洞看过去的样子和它的本来面目很不相同，具体原因比较复杂，涉及到光线在施瓦西黑洞附近的复杂偏转、引力红移以及多普勒集束效应等。

以上就是对施瓦西黑洞的一个最简单的说明，下面我们将分析粒子在施瓦西黑洞内部运动的情况。

二、施瓦西时空视界内外部的特点与差异

我们一般把 r=2GMc2 的球面称为施瓦西黑洞的视界，视界内部就是黑洞区域了，黑洞区域的时空是一种极为异常的状态。其实，在施瓦西黑洞外部接近视界的地方，时空状态已经很不正常了。我以前写过一篇有关黑洞的文章（链接如下），介绍了施瓦西黑洞的一些情况，感兴趣的朋友可供参考。

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1、广义相对论对时空的基本认知

黑洞这种时空形态是广义相对论的重大理论预言。之所以是重大理论预言，是因为按照传统上人们对时间、空间的认知，无论如何是不会存在黑洞这种状态的；甚至是在狭义相对论中，我们已经认可了时间与空间的相对性（钟慢效应、尺缩效应已经让世人很难理解了），但基于狭义相对论仍然无法理解黑洞。所以，要想准确理解黑洞的存在，需要更新一下我们千百年来一直深信不疑的对时间和空间的认知。必须事先声明的是，以下介绍的广义相对论对时空的认知并不是什么理论假设、理论猜想，而是被100多年来无数的物理实验以及科学实验直接或间接证明了的科学事实。

（1）时空是紧密联系的一个整体，时间与空间并不能截然分开。广义相对论中将时间与空间一体化的看待，称为“四维时空”，这是一个配有度规结构的单连通四维流形（）（M,gab）。
（2）四维时空是绝对的，它与观察者无关，也不会受到坐标系变换的影响。
（3）时间与空间都是相对的，是人为指定的。确定某个四维时空（）（M,gab）的时间与空间的工作相当于在这个四维流形上建立由四个坐标构成的坐标系，其中一个是时间坐标、另外三个是空间坐标。这项工作在广义相对论中被称为“时空的3+1分解”。并不是任何四维时空都能够做出“时空的3+1分解”，有些特殊的四维时空无法定义时间与空间。即使能够定义时间与空间的四维时空，也并不都能够做到像我们日常生活中感受到的那样——时间与空间互不相关（如有些四维时空做3+1分解的时候无法保证时间坐标与空间坐标相互正交）。只有静态时空（存在类空超曲面正交的类时Killing矢量场的四维时空）才有可能定义出与我们日常生活感受非常类似的时间与空间。
（4）所有与时间、空间有关的3维物理量（长度、时间、速度、动量、……）在广义相对论中都是相对的，都与观察者紧密相关。不做“时空3+1分解”且不明确观察者，是无法谈论上述物理量的。
（5）由于广义相对论中的时空是弯曲的，因此我们不能套用平直时空下的思路去看待问题。例如，广义相对论中不存在牛顿经典时空观下的那种参考系，不可能奢望确定一个参照物、确定一个坐标系后，就能够定义（或测量）所有时空点处的质点的运动学物理量。广义相对论下的参考系指的是覆盖全部四维时空的、互不相交的、类时矢量场积分曲线的集合。只有在这个基础上，我们才能够为每个时空点的传统意义上的运动学物理量（3维量）下定义。即使如此，仍有些物理量可能是无法定义的，比如一根木棍的长度（指通常意义的三维空间长度），即使有了广义相对论下的参考系，但在无法做“时空3+1分解”的四维时空中仍是无法良好定义的。

有了上述基本时空观认知，我们才有可能继续分析粒子和光子在施瓦西黑洞内部的运动状态。否则，如果基本时空观认知框架都不统一，那么一旦涉及到黑洞内部这类物理问题的时候，就真的是鸡同鸭讲，无法沟通了。

2、施瓦西黑洞内部和外部的重大区别

（1）视界面外部时空的异常之处

要知道， r=2GMc2 的视界面可相当的不简单。如果你的一位朋友驾驶一艘性能无穷好的宇宙飞船飞向某个施瓦西黑洞的视界，那么你会发现你永远无法看到他到达视界面的那一天。这并不是因为飞船飞得太慢，而是因为接近视界面处的时间流逝比远处作为观察者的你慢许多，即使你等到天荒地老，你朋友的飞船仍然还在无限接近视界而没有到达。

我们可以用光子运动的世界线来说明这个问题。我们都知道相对论有一个著名的基本假设——光速不变原理。在广义相对论中，这个原理可以被“更数学”地表述为——光子的世界线线长恒为零。

假设你的朋友的宇宙飞船可以化为一束光，沿径向直接杀奔黑洞中心，那么作为光子的他的世界线将满足 ds2≡0 。考虑到是沿着径向运动，因此 dθ 与 dϕ 都是 0 。从而，根据式（1）的施瓦西真空解得到光子世界线方程为

dr2=c2⋅(1−2GMc2⋅r)2⋅dt2

求解后得到，

t×c=−r+2GMc2−2GMc2⋅ln|1−2GMc2⋅r|+Const ......(2)

这里的 Const 是常数，取决于设定哪点的时间 t 为 0 。我们取 Const=0，并取 M 为3倍太阳质量，得到的光子世界线 t×c~r 的关系如图4 所示。

图4 光子沿径向奔向施瓦西黑洞中心的世界线，t*c~r 的关系

我们知道，至少在视界外部，坐标 t 表示的是时间，其实这个坐标的含义是无穷远处观察者所经历的时间。从图4 中我们可以看到，即使你朋友化身为光子，那么在接近视界（3倍太阳质量施瓦西黑洞的视界约在 r 为8844米处）的时候，你所经历的时间快速趋于无穷大。这也就是说，你只有经历了无穷长的时间，才会看到你朋友到达视界面。或者说，你永远无法看到他到达视界面，只能看到他不断地接近视界面，渐渐地贴在视界面上。

当然，光子或飞船自身并没有觉得时间过了无穷长，它们自己都是可以正常的从视界外进入到视界内的。具体的情况可以参见我的这篇文章。

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（2）视界面内外的重大差别

虽然视界面外的时空已经比较异常了，但是和施瓦西黑洞内部比起来仍然算不了什么。起码在视界面外边，时间还是时间、空间还是空间，但是一旦进入到黑洞内，就不是这样了。

为了解释视界面内外的重大差异，我们先从有质量的粒子运动速度不能超光速谈起。在狭义相对论中我们就知道，质点的运动速度不能超光速。可是前面又说过，在广义相对论中由于时空是一个整体且处于弯曲状态，各种与时间、空间相关的物理量都是相对的，那么怎么理解质点运动速度不能超光速呢？其实，基于微分几何的数学知识，我们可以良好的定义质点运动速度不能超光速这个性质为——质点的世界线的线元长度平方（ ds2 ）处处小于零。我们将四维时空中满足这个性质的曲线称为类时曲线（类似地，将 ds2 处处大于 0 的曲线称为类空曲线；将 ds2 处处等于 0 的曲线称为类光曲线，光子的世界线就必然是类光曲线），从而质点运动不能超光速就可以表述为质点的世界线必须是类时曲线。

我们把式（1）施瓦西真空解的线元表达式再列在下面，并做个简单分析。

ds2=−(c2−2GMr)⋅dt2+(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2+r2⋅dθ2+r2sin2θ⋅dϕ2 ......(1)

在视界面外部，我们可以把 r 、 θ 、 ϕ 看作是空间坐标，把 t 看作是时间坐标。那么如果一个质点想保持空间位置不变，也就是 dr=0 、 dθ=0 且 dϕ=0 ，那么这个质点的线元将变成
ds2=−c2⋅(1−2GMc2⋅r)⋅dt2 ......(3)

由于视界外部 r>2GMc2 ，所以 ds2<0 ，这说明在视界外部保持空间位置不变的质点的世界线确实为类时曲线，没有超光速，可以存在。

但是，当把视角切换到视界内部——也就是施瓦西黑洞内部——的时候，我们会发现由于 r<2GMc2 ，式（3）所描绘的线元 ds2>0 ，不再是类时曲线。也就是说，在视界内部，质点将不能保持 r 、 θ 、 ϕ 三个坐标不变，否则就“超光速”了。

再仔细观察式（1），可以发现随着 r<2GMc2 ， dt2 的系数由负变正的同时， dr2 的系数 (1−2GMc2⋅r)−1 却由正变负了。也就是说，如果在视界内部，我们保持 t 、 θ 、 ϕ 不变，质点的世界线将成为类时曲线，是可以存在的。

这表明，从视界外部进入到视界内部，坐标 t 与 r 的性质在某种意义下发生了互换。如果说在视界外部，时间永恒流逝意味着 t 坐标必须不断变化的话，那么在视界内部时间永恒流逝就意味着 r 坐标必须不断变化！

这就是视界内外时空的最重大的差别！！！

三、粒子在施瓦西黑洞内部的运动情况

1、运动方向

既然在施瓦西黑洞内部时间流逝意味着 r 坐标必须不断变化，那么首先要解决的就是运动方向问题？是 r 不断变大呢，还是 r 不断变小呢？

黑洞内部在 t 、 θ 、 ϕ 不变的前提下， ds2=(1−2GMc2⋅r)−1⋅dr2 ，无论 r 不断变大还是不断变小，或者说 dr 取正值还是负值， dr2 都是正值，因此对应的世界线都是类时曲线，都是可以作为质点的运行轨迹的。r 不断变小，意味着质点将奔向施瓦西黑洞的奇点；r 不断变大，则意味着质点将从黑洞内部跑出来。既然这两种世界线都是类时的，是否意味着这两种情况都存在呢？答案是 NO ！

这正如在黑洞外部，无论坐标 t 不断变大还是不断变小，对应的世界线也都是类时曲线，但是我们只见到过奔向未来的质点，从未见过从未来回到过去的质点。时间是单向的，否则因果规律都要失效，我们的一切运算也将毫无意义。既然在黑洞外部，类时坐标线对应的参数 t 只能取一个方向，那么在黑洞内部，同样成为类时坐标线对应的参数 r 也只能取一个方向。

无论是从对宇宙的观察来看，还是从理论推导来看，黑洞视界外部的粒子都只会受到黑洞的吸引而坠入黑洞，并没有从黑洞内部飞奔而出的任何粒子或者光子（霍金辐射并不属于这种意义的粒子）。从而，我们可以得到比较确定的结论，在黑洞内部，坐标参数 r 只能不断减小，不会增大，也不会不变。

其实，从数学上对施瓦西真空解进行最大范围的延拓——Kruskal延拓，可以得到除了球心奇点外的、全四维时空单联通的流形。在这个延拓下，确实存在着除了我们说的黑洞区域和视界外渐进平直区域外的另外两个区域——白洞区域和白洞外的渐进平直区域。但是，这两个区域与我们讨论的黑洞区域和黑洞外渐进平直区域是没有因果联系的，从物理上说白洞和白洞外的区域应该是不存在的。当然，是否存在一个与我们的宇宙完全没有因果联系的另外一个宇宙，现有理论和科学实验观察目前都无法得出任何结论。

停止放飞思绪，还是回到我们的宇宙中，研究粒子进入黑洞后的运动情况吧。

2、运动结果

既然粒子进入黑洞后，坐标 r 就只能不断减小，那么最终粒子会怎样呢？注意到“ r 只能减小”与视界外部的“ t 只能增大”不同，增大可以永远增加下去，可减小最终也就是减小到 0 。

站在施瓦西时空的角度来说，黑洞内部粒子运动的结果必然是“最终从施瓦西时空中消失”。因为 r 最终将减小到 0 ，可是前面强调过，r=0 并不属于施瓦西时空中的时空点，所以我们只能说，粒子和光子们最终都从时空中消失了。

这是广义相对论目前能够给到我们的结论。相信没有哪个人会对这样的结论满意。所以，全世界的物理学家基本都认为至少在施瓦西时空的奇点处，广义相对论失效了。而且，现有物理理论中也没有哪个理论能够解释这个现象，所以也可以说，在施瓦西时空的奇点处，我们现有的、经过验证成立的全部物理理论都失效了。这就是粒子和光子在施瓦西黑洞内部运动的最终结果。

有人会说，会不会粒子不断朝着奇点运动，但是永远到达不了呢？这不就解决了粒子从时空中消失的问题吗？
有着这类想法的朋友还是拿着绝对时空观往广义相对论上来套用了。事实上，不说清楚那个“永远”是相对哪个观察者来说的，“永远”本身就是无意义的。正如在黑洞外部，我们地球上的观察者就会觉得朋友的飞船永远也到达不了黑洞视界，但其实人家飞船自己觉得很快就到了视界并毫无阻拦的进去了。

事实上，由于对粒子来说，它们自己感知到的时间（固有时）就是其世界线的长度（国际单位制下要除以光速c）。在世界线必须是类时曲线的前提下，很容易证明，保持 t 、 θ 、 ϕ 不变的情况下的类时曲线是最长的。换句话说，粒子只沿着 r 方向前进，其它坐标都保持不变，这种情况会让粒子到达奇点所需要的固有时最长。但是，这个最长的固有时也是有限的，它等于

1c⋅∫ds=1c⋅∫02GMc2r2GMc2−r⋅dr=1c⋅∫012GMc2u1−u⋅du=πGMc3 ......(3)

所以，并不存在粒子不断朝着奇点运动但永远到达不了的情况。对进入黑洞内部的粒子和光子来说，唯一的归宿就是从施瓦西时空中消失，到达我们现有物理理论无法解释的一种状态。

3、运动轨迹

最后，说了这么多，还是要给大家计算一下粒子和光子在施瓦西黑洞内部的运动轨迹到底如何。我们先假定粒子和光子进入黑洞后都做惯性运动，其运动的世界线是四维时空中的测地线。

（1）测地线计算方法

计算方法涉及到较多的广义相对论知识和数学知识，不多解释，无需了解的朋友跳过即可。

首先由球对称性可知，固定 θ=π2 不影响测地线的计算。

然后，根据式（1）表明的球坐标系下施瓦西时空度规的任何分量都与坐标 t 和 ϕ 无关，知道 (∂∂t)a 与 (∂∂ϕ)a 是两个Killing矢量场。由于测地线的切矢与Killing矢量场的缩并沿测地线是常数，我们可以定义这两个常数分别为 E 和 L 。

E=−gab(∂∂t)a(∂∂τ)b=(1−2GMc2⋅r)⋅c3⋅dtdτ ......(5)

L=gab(∂∂ϕ)a(∂∂τ)b=c⋅r2⋅dϕdτ ......(6)

再由 gab(∂∂τ)a(∂∂τ)b=−1 or 0 （分别对应类时曲线和类光曲线），并将式（4）和式（5）代入得到

−(1−2GMc2⋅r)−1⋅E2c4+(1−2GMc2⋅r)−1⋅(drdτ)2+L2c2⋅r2=−1 or 0 ......(7)

式（5）、（6）、（7）是三个关于 t 、 r 、 ϕ 的微分方程，我们由此可以解出 t 、 r 、 ϕ 与 τ 的函数关系，从而得到测地线的参数方程。

（2）数值求解测地线曲线

上面三个方程的解析解求解太困难，也没有必要。我们直接利用数值计算求解。

数值计算前要阐明 E 和 L 这两个量的含义，从而好赋予其有意义的数值。理论分析表明，E 的含义是无穷远处的观者测量得到的粒子的“单位质量的能量”，这个能量既包括粒子的引力势能，也包括粒子的动能。L 的含义是无穷远处观者测量得到的粒子对黑洞中心的“单位质量的角动量”。

首先，我们先来计算光子在黑洞内部的运动轨迹。

我们设定黑洞质量是3倍太阳质量，对应的视界半径 Rs=8844.42 米。设定 E=c2 ，对光子来说这只是一个数值而已，关系不大。设定 L 分别为 0、 2π×103×Rs2 、 2π×104×Rs2 、 2π×105×Rs2 ，单位都是“米^2/秒”。这后三个“单位质量的角动量”可不小，大体上相当于以 Rs 为半径，一秒钟绕黑洞1000圈、10000圈和10,000圈。

根据数值计算的结果，我们先按照一般习惯上的理解，画出 θ=π2 平面上光子的轨迹，如图5 所示。

图5 光子在上述条件下的4条奔向奇点的轨迹，①~④分别对应着单位质量的角动量为以Rs为半径，一秒钟绕黑洞 0、1000、10000、10,000圈

根据我多次数值计算的结果，无论角动量怎样继续增大，其 r ~ ϕ 轨迹不会与④号轨迹有太大的变化。也就是说，在黑洞内部，即使是光子，想绕着奇点多转几圈都是没有可能的。

还要说明的是，只是通过 θ=π2 平面上的 r ~ ϕ 轨迹来获取信息还是不充分的。其实这四个不同角动量的光子并没有“同时”到达奇点（请注意我在“同时”上加了引号，是因为广义相对论并不那么容易定义“同时”；这里“同时”的意思是指这四个光子到达的并不是同一个四维时空点）。为了区分这四个光子真正的世界线，我们很有必要把 t 坐标也表达出来。加入 t 坐标后（由于 t 坐标是负值且越来越小，绝对值越来越大，为了画图方便，图中的 t 坐标都被表达为 -t）的四个光子的世界线如图6 所示。

图6 加入 t 坐标后的四个光子世界线；躺在 x-y 平面上的蓝色线条是这四条世界线向 x-y 平面的投影，也就是图5中的轨迹

从图6 中明显可以看出，四个光子虽然都到达了 r=0 的那条直线上，但是到达处的 t 坐标显然不同。这就是上面说的它们不是“同时”到达的含义。当然，用 t 坐标来衡量的话，可以看到角动量越大的光子到达的越早（绕弯去的到的反而早，走直线的到的反而晚），但是我们知道 t 坐标线不是类时曲线，不可能是某个质点的世界线，也不会有观者以这样的顺序看到四个光子依次到达。

事实上，四个光子到达奇点的事件没有因果关系，再加上因奇点处不属于施瓦西时空从而不可能有任何观者看到四个光子依次到达奇点。所以，严格地讲，光子们到达奇点的先后顺序在施瓦西黑洞内是无法定义的。

下面，我们来计算有质量的粒子在施瓦西黑洞内部的运动轨迹。

仍然设定黑洞质量是3倍太阳质量，对应的视界半径 Rs=8844.42 米。对粒子而言，我们来讨论三种情况。

情况一：设定 L=0 ，改变 E ，分别设定 E=c2 、 E=13c2 和 E=19c2 。

对粒子来说，E=c2 相当于粒子在距离黑洞无穷远处的时候没有动能，仅有静质量对应的能量（ m0c2 ），从而单位质量的能量 E 就是 c2 。而 E<c2 的两种情况相当于粒子（或者看作宇宙飞船）在引力作用下到达视界外的某处后“踩了刹车”，减少了动能，目的是尽量慢点落入奇点。

情况一的计算结果如图7 所示。

图7 角动量为 0 的三个能量不同的粒子坠入黑洞奇点的世界线

在角动量为 0 的情况下，计算结果表明，能量越大的粒子坠入奇点时对应的 t 坐标越大。图7 中最上面的那条世界线是 E=c2 的粒子的世界线。这下可能有的朋友又有点糊涂了，为什么能量越大反而坠落到奇点“越晚”呢？其实，在黑洞内部，t 坐标具有空间坐标的属性，并不能代表时间。事实上，我们可以理解为能量越大的粒子，在空间坐标 t 的方向上“冲”的越远！

可能还是会有朋友想问，这三个粒子到底谁先到达奇点的呢？前面分析光子坠落奇点时已经说了，在施瓦西黑洞内部，由于时空度规极度扭曲，连稳态时空都不是（ r 坐标的切矢场虽然是类时矢量场，但是却不是Killing矢量场，随着 r 坐标改变度规分量也在改变），所以无法良好定义哪个粒子先坠落奇点。

但是，粒子毕竟与光子不同，光子没有固有时，而粒子有。所以，我们可以通过比较粒子的固有时来看看它们自己觉得自己经历了多长时间坠落到了奇点。

其实，前面介绍计算方法的时候所用的参数 τ 就是粒子世界线的线长。粒子的固有时就是粒子世界线的长度除以光速。计算表明，单位质量的能量分别为 1倍、1/3倍和1/9倍 c2 的三个粒子，从视界处坠落到奇点所经历的固有时分别为 1.93×10−5 秒、 3.14×10−5 秒和 3.82×10−5 秒。从固有时来看，确实是能量大的粒子固有时短。虽然我们不好定义它们坠落奇点的先后顺序，但是从自我感觉的时间来看，还是“刹车过”的粒子坠落得“慢”，虽然这段固有时连让人眨一下眼睛都来不及。

计算到这里，可能会有细心的朋友“算了下账”，从视界落到奇点的过程中，r 坐标从8844.42米变为0，而能量最大的那个粒子固有时只有 1.93×10−5 秒，其向奇点坠落的平均速度达到 4.57×108 米/秒，显然超光速了呀！这又是一种拿着经典时空观向广义相对论中套用的误会。
用坐标变化量去除以粒子的固有时，确实能够得到一个具有速度量纲的物理量，但是这个物理量不表征任何我们经典意义下的速度。相对论所说的速度不能超光速，指的是与粒子同处在同一个四维时空点的任何一个观察者（观察者也是有质量的粒子，其世界线也是类时曲线）所测量得到的这个粒子的三维速度（空间距离随时间坐标的变化率）。只要粒子世界线为类时曲线，那么无论哪个观察者测量得到的粒子三维速度都不会超过光速，即使在黑洞内部也不例外。
由于相对论中的时间概念相对性很强，并不是随便找一个距离除以一个时间得到的速度都不能超光速。我们常说的宇宙膨胀的速度超光速也是类似的情况，并不是真的有哪个星系超光速运动了。

情况二：设定 E=c2 ，改变 L ，分别设定 L 为 0、 2π×103×Rs2 、 2π×104×Rs2 、 2π×105×Rs2 米^2/秒，与前面计算光子的数值相同。

计算得到的不同角动量下粒子世界线如图8 所示。

图8 相同能量、不同角动量下四个粒子向奇点坠落的世界线，左边是通常意义下的“空间”轨迹，右边是加入了 t 坐标的粒子世界线

在改变角动量的时候我们看到，粒子与光子类似，都是角动量大的粒子到达奇点时的 t 坐标值小。我们计算这四个粒子的固有时，得到的也是同样的结果，角动量大的粒子固有时也小。这四个粒子的固有时分别为 1.93×10−5 秒、 1.80×10−5 秒、 9.51×10−6 秒和 1.52×10−6 秒。看来，想通过巨大的角动量试图在黑洞内多绕奇点转转圈是不可能的，而且越想转圈，其结果是自我感觉越快到达奇点。

当 E=0 且 L=0 时，粒子的世界线变成了 r 坐标线，此时粒子坠落到奇点的固有时最大。利用式（3）计算得到，对3倍太阳质量的黑洞来说，粒子坠入奇点的固有时最长为 4.63×10−5 秒。看，也没比前面那个 3.82×10−5 秒长多少。事实上，粒子是无法做到只沿着 r 坐标线前进的，因为 E=0 的前提是 dt/dτ=0 ，可在视界外的时候，t 是时间坐标，不可能保持不变使 dt=0 ，所以粒子至多可以无限接近这个最长的固有时而已。【由于克氏符计算太复杂，之前算错了数，仅沿着 r 坐标线运动也是一条测地线，没有“4加速”。】

四、小结

在施瓦西黑洞内部，径向坐标 r 具有了类时属性，任何粒子和光子都只能沿着 r 减小的方向冲向奇点，无法回头。

对粒子来说，用自身的固有时衡量，能量越大、角动量越大，自我感觉坠落得越快。

即使粒子是一艘超级无敌宇宙飞船，能够提供无限大的功率，那么对于3倍太阳质量这种小黑洞来说，至多可以让固有时趋近 4.63×10−5 秒，仍然来不及眨下眼睛就坠落到奇点了。所以，真要是谁“有幸”进入了黑洞内部，就别挣扎了，听天由命吧！