前言
参考博客
前置知识
- 1.极角排序
- 2.凸包（默认逆时针）
- 3.对踵点
旋转卡壳能解决的各类问题
- 1.计算距离
- - 1.1凸多边形直径
  - 1.2凸多边形宽
  - 1.3凸多边形间最大距离
  - 1.4凸多边形间最小距离
- 2.外接矩形
- - 2.1最小面积外接矩形
  - 2.2最小周长外接矩形
- 3.三角剖分
- - 3.1洋葱三角剖分
  - 3.2螺旋三角剖分
  - 3.3四边形剖分
- 4.凸多边形属性
- - 4.1合并凸包
  - 4.2找公切线
  - 4.3凸多边形交
  - 4.4临界切线
  - 4.5凸多边形矢量和
- 5.最薄截面
- - 5.1最薄横截带
博客中出现的所有题目

前言

不用总想着一下子就学完所有知识，刷题要紧（能遇到的东西才是重点！！！）
刷的越多，才越知道考什么，怎么考。
只是三个问题最重要，最常用：
- 凸多边形直径
- 最小面积外接矩形
- 凸多边形见最小距离
旋转卡壳解题关键：怎么卡，其他就是套模板了（其实模板内容也不过是一些数学常识）

参考博客

1.旋转卡壳解决一类问题（资料）

好极了，甚至让我有了想要好好学习的冲动。
本博文任何知识都可以优先参考该博客

前置知识

1.极角排序

简单得很，设置一个Point mi;全局变量就便变成了写普通的数组排序函数了

//极角排序，这样就ok了
Point mi;
bool cmp(Point a, Point b) {double x = sgn(cross(mi, a, b));if (x == 0) return sgn(dis(mi, a) - dis(mi, b)) < 0;return x > 0;
}
//不知道怎么回事，上面这题，在https://vjudge.net/problem/POJ-1113里面就是不对。
//下面这种就对了。
struct cmp {Point p;cmp() {}cmp(const Point &p0) { p = p0; }//以点p为极坐标原点进行极角排序:sort(,,p.cmp(mi));bool operator()(const Point &a, const Point &b) {int x = sgn(cross(p, a, b));if (x == 0)return sgn(dis(a, p) - dis(b, p)) < 0;elsereturn x > 0;}
};

为什么上面那种不对，还是后面再来思考吧：破案了，原来是因为我在函数里面又新加了Point mi;emmm就变成了局部变量。

2.凸包（默认逆时针）

参考博客：数学：凸包算法详解
定义：凸的多边形，包含所有给定点
解法： Graham扫描法（参考博客[数学：凸包算法详解]中有图！！！，静态动态都有！！！）
- 时间复杂度：O(nlognnlognnlogn)
- 思路:
  1）先找到一个点（肯定在凸包上的点）p0p_0p0放入栈中；
  2）然后进行某种排序（排序要求后面再说，着重关注标注部分）得到p1,p2,...,pn−1p1,p2,...,p_{n-1}p1,p2,...,pn−1；
  3）排序之后先将p1p_1p1放入栈顶，然后从p2p_2p2一直更新到pn−1p_{n-1}pn−1为止（pn−1p_{n-1}pn−1一定在凸包上！！！）。
  4）另外，更新：假设栈顶点为ppp，然后不断判断待更新点pip_ipi是否在p0p→\overrightarrow{p_0p}p0p的左边（左边：放入栈中，判断下一位。右边：ppp弹出栈，直到pip_ipi在p0p→\overrightarrow{p_0p}p0p在左边或者遇到p0p_0p0）
- 排序思路1（极角排序）：纵坐标最小的点p0p_0p0一定是凸包上的点，以p0p_0p0为极坐标源点，对其他点进行极角排序（按相对于p0p_0p0点的幅角从小到大，幅角相等时按到p0p_0p0的相对距离从小到大排序），得到p0,p1,...,pn−1p_0,p_1,...,p_{n-1}p0,p1,...,pn−1。
- 排序思路2（直角坐标排序——求上下凸包的时候用，如果想在求凸包中用，就要先求上、下凸包，然后再拼凑起来（而且还有要注意的东西——点重了或者少了）。距离说明：长宽都平行于坐标轴的正方形）：p0p_0p0为最左边的点，然后按xxx坐标从小到大排序，xxx相等时 yyy坐标从大到小排序。
模板：

//由a数组求凸包传给 P ———— 没想到求凸包这么简单，之前想得太难了，艹
// Point *a，我们传送的是a的地址，函数中可以改变数组。a[]呢？
void getconvex(Point *a, int n, polygon &convex) {mi = a[0];for (int i = 1; i < n; i++) mi = min(mi, a[i]);sort(a, a + n, cmp);  //极角排序：求凸包的准备工作int top = 0;              // top模拟栈顶convex.p[top] = a[0];convex.p[++top] = a[1];for (int i = 2; i < n; i++) {while (top > 0 &&(sgn(cross(convex.p[top - 1], convex.p[top], a[i])) <= 0))top--;convex.p[++top] = a[i];}convex.n = top + 1;
}

另一种求上下凸壳的方法感觉不是很必要。不用学就不学，多花些时间思考这些知识怎么应用才是王道（保持对题目的敏感）。

3.对踵点

参考博客：对踵点对
切线：
对踵点对：（平行切线上的两点）
（凸包）三种情况：

旋转卡壳能解决的各类问题

能解决的问题：（学基础的，然后剩下的遇到再补）

1.计算距离

1.1凸多边形直径

参考博客：旋转卡壳——凸多边形直径
定义：多边形上任意两点间的距离的最大值
题解：求出凸包之后，直接遍历每条边，求每条边的两个点共有的对踵点（可能1个，可能两个，不知道这里为什么只需要考虑一个，即continue后面的都不需要）。
模板：
- 注意！！！。r千万不能从0开始，不然在遍历第一条边的时候就走远了。
- ↑\uparrow↑：今天虽然花了将近俩小时在这上面，甚至有点自闭，但是真的值，总算是找出来最后的问题。nice

// diameter:直径（zhijing）
double zhijing(Point *a, int n) {if (n == 2) return distance(a[0], a[1]);  //只有两个点double res = 0;int r =1;  //今天就栽在了这里。之前一直另的r=0，在Linr(a[0],a[1])的是时候就会出问题emmma[n] = a[0];for (int i = 0; i < n; i++) {while (sgn(cross(a[i], a[i + 1], a[r + 1]) -cross(a[i], a[i + 1], a[r])) > 0)r = (r + 1) % n;if (sgn(distance(a[i], a[r]) - res) > 0) res = distance(a[i], a[r]);if (sgn(distance(a[i + 1], a[r]) - res) > 0)res = distance(a[i + 1], a[r]);//这里为保险起见（一条线对应两个点的时候）。好像不要也是对的，为什么？这是一个大问题continue;while (sgn(cross(a[i], a[i + 1],a[r + 1] - cross(a[i], a[i + 1], a[r]))) == 0) {r = (r + 1) % n;if (sgn(distance(a[i], a[r]) - res) > 0) res = distance(a[i], a[r]);if (sgn(distance(a[i + 1], a[r]) - res) > 0)res = distance(a[i + 1], a[r]);}}return res;
}

模板题：P1452 [USACO03FALL]Beauty Contest G /【模板】旋转卡壳
- 题意：给定平面上 nn 个点，求凸包直径。【数据范围】
  对于100%的数据，2≤n≤50000，∣x∣,∣y∣≤1042\le n \le 50000，|x|,|y| \le 10^42≤n≤50000，∣x∣,∣y∣≤104 。
- 题解：旋转卡壳模板题，不解释
- 代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>using namespace std;
const int N = 5e4 + 5;
const double eps = 1e-8;
int sgn(double x) {if (fabs(x) < eps) return 0;return (x > 0) ? 1 : -1;
}
int n;
struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}void input() { scanf("%lf%lf", &x, &y); }bool operator<(const Point &b) const {if (sgn(y - b.y) == 0)return sgn(x - b.x) < 0;elsereturn sgn(y - b.y) < 0;}Point operator-(const Point &b) const { return Point(x - b.x, y - b.y); }double operator^(const Point &b) const { return x * b.y - b.x * y; }bool operator==(const Point &b) const {return (sgn(x - b.x)) == 0 && (sgn(y - b.y) == 0);}
} a[N];
double dis(const Point &a, const Point &b) {return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
struct cmp {Point p;cmp() {}cmp(const Point &p0) { p = p0; }//以点p为极坐标原点进行极角排序:sort(,,p.cmp(mi));bool operator()(const Point &a, const Point &b) {int x = sgn((a - p) ^ (b - p));if (x == 0)return sgn(dis(a, p) - dis(b, p)) < 0;elsereturn x > 0;}
};
//向量ab x 向量ac
double cross(Point a, Point b, Point c) { return (b - a) ^ (c - a); }
struct polygon {int n;Point p[N];
} convex;
//由a数组求凸包传给 P ———— 没想到求凸包这么简单，之前想得太难了，艹
void getconvex(Point *a, int n, polygon &convex) {Point mi = a[0];for (int i = 1; i < n; i++) mi = min(mi, a[i]);sort(a, a + n, cmp(mi));  //排序：求凸包的准备工作（这里不是极角排序）int top = 0;  // top模拟栈顶convex.p[top] = a[0];convex.p[++top] = a[1];for (int i = 2; i < n; i++) {while (top > 0 &&(sgn(cross(convex.p[top - 1], convex.p[top], a[i])) <= 0))top--;convex.p[++top] = a[i];}convex.n = top + 1;
}
// diameter:直径（zhijing）
double zhijing(Point *a, int n) {if (n == 2) return dis(a[0], a[1]);  //只有两个点double res = 0;int r =1;  //今天就栽在了这里。之前一直另的r=0，在Linr(a[0],a[1])的是时候就会出问题emmma[n] = a[0];for (int i = 0; i < n; i++) {while (sgn(cross(a[i], a[i + 1], a[r + 1]) -cross(a[i], a[i + 1], a[r])) > 0)r = (r + 1) % n;if (sgn(dis(a[i], a[r]) - res) > 0) res = dis(a[i], a[r]);if (sgn(dis(a[i + 1], a[r]) - res) > 0) res = dis(a[i + 1], a[r]);//这里为保险起见（一条线对应两个点的时候）。好像不要也是对的，为什么？这是一个大问题continue;while (sgn(cross(a[i], a[i + 1],a[r + 1] - cross(a[i], a[i + 1], a[r]))) == 0) {r = (r + 1) % n;if (sgn(dis(a[i], a[r]) - res) > 0) res = dis(a[i], a[r]);if (sgn(dis(a[i + 1], a[r]) - res) > 0) res = dis(a[i + 1], a[r]);}}return res;
}
signed main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) a[i].input();getconvex(a, n, convex);// cout << ">>>" << convex.n << endl;// for (int i = 0; i < convex.n; i++) {// printf("%.2lf %.2lf\n", convex.p[i].x, convex.p[i].y);// }double ans = zhijing(convex.p, convex.n);printf("%d\n", (int)round(ans * ans));return 0;
}

1.2凸多边形宽

定义：凸多边形的任意两条平行切线间的最短距离。
题解：和求凸多边形长几乎一样，但是这里不关注“点-点对踵点”，只关注“点-对对踵点”的最小值。需要用到点到直线的距离公式
模板：先略。遇到再说，每遇到就先理解。

1.3凸多边形间最大距离

1.4凸多边形间最小距离

题目：J - 旋转卡壳 POJ - 3608
题解见：Bridge Across Islands POJ - 3608（旋转卡壳+凸多边形间最短距离）
模板：

// !注意要先对两凸包的点数组进行极角排序（同时顺时针，同时逆时针都ok）。
// polygon a,b的点和大小
//调用：double ans=minconvextoconvex(a.p,b.p,a.n,b.n)
double minconvextoconvex(Point *a, Point *b, int n, int m) {a[n] = a[0];b[m] = b[0];double res = inf;int ra = 0, rb = 0;for (int i = 0; i < n; i++)if (sgn(a[i].y - a[ra].y) < 0) ra = i;for (int i = 0; i < m; i++)if (sgn(b[i].y - b[rb].y) > 0) rb = i;res = min(res, dis(a[ra], b[rb]));for (int i = 0; i < n; i++) {//以下为什么是>？？？？今后再来看看？//这里确实不同于其他的旋转卡壳，似乎是以b[rb+1]为准，而不是b[rb]，得到的依然是距离Line(a[ra],a[ra+1])最小的点b[rb+1]//!有些东西也是需要记的。别说了，多刷题while (sgn(cross(a[ra], a[ra + 1], b[rb + 1]) -cross(a[ra], a[ra + 1], b[rb])) > 0)rb = (rb + 1) % m;res = min(res,dissegtoseg(Line(a[ra], a[ra + 1]), Line(b[rb], b[rb + 1])));ra = (ra + 1) % n;}return res;
}

只是这里理解起来有一点点麻烦

2.外接矩形

2.1最小面积外接矩形

要求：求凸包的所有外接矩形种的最小值。（又是要求输出矩形各点）
解法：（如果不是逆时针凸包就先求凸包），枚举边，卡三个点（上面求长和宽是卡一个点。至于怎么卡，建议自己先想想）
具体的见博客：P3187 [HNOI2007]最小矩形覆盖（凸包，旋转卡壳，凸包最小矩形覆盖–求面积及各点）
代码：

//https://www.luogu.com.cn/problem/P3187-----P3187 [HNOI2007]最小矩形覆盖
#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define dbg(x) cout << #x << "===" << x << endl
using namespace std;
const int N = 5e4 + 5;
const double eps = 1e-8;
const double inf = 1e9;
const double pi = acos(-1.0);
int sgn(double x) {if (fabs(x) < eps) return 0;if (x < 0)return -1;elsereturn 1;
}
int n;
struct Point {double x, y;Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}// Point() {}// Point(double _x, double _y) { x = _x; y = _y; }/*建议用以上形式。但是注意，不能：Point(){}Point(double x,double y){x=x,y=y;}!今天的所有错误，都来源于Point(double x,double y){x=x,y=y;}这种用法。Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}也没有问题，就是不能上面这种*/void input() { scanf("%lf%lf", &x, &y); }bool operator<(const Point &b) const {if (sgn(y - b.y) == 0)return sgn(x - b.x) < 0;elsereturn sgn(y - b.y) < 0;}Point operator-(const Point &b) const { return Point(x - b.x, y - b.y); }double operator^(const Point &b) const { return x * b.y - b.x * y; }double operator*(const Point &b) const { return x * b.x + y * b.y; }Point operator*(double k) const { return Point(x * k, y * k); }Point operator+(const Point &b) const { return Point(x + b.x, y + b.y); }bool operator==(const Point &b) const {return (sgn(x - b.x)) == 0 && (sgn(y - b.y) == 0);}
} a[N];
vector<Point> vp;
double distance(Point a, Point b) {return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
struct cmp {Point p;cmp() {}cmp(const Point &p0) { p = p0; }//以点p为极坐标原点进行极角排序:sort(,,p.cmp(mi));bool operator()(const Point &a, const Point &b) const {int x = sgn((a - p) ^ (b - p));if (x == 0)return sgn(distance(a, p) - distance(b, p)) < 0;elsereturn x > 0;}
};
//向量ab x 向量ac
double cross(Point a, Point b, Point c) { return (b - a) ^ (c - a); }
double dot(Point a, Point b, Point c) { return (b - a) * (c - a); }
struct polygon {int n;Point p[N];
} convex;
struct Line {Point s, e;Line() {}Line(Point _s, Point _e) { s = _s, e = _e; }//点向式，这里向量可以有很多种表示。Line(Point p, double angle) {s = p;e = s + Point(cos(angle), sin(angle));}//有向线段(s,e)倾斜角,(-pi,pi)。直线倾斜角只需要将角度转换为(-pi/2,pi/2)即可double angle() {double an = atan2(e.y - s.y, e.x - s.x);// atan(double)返回值域为(-pi/2,pi/2)// atan2(y,x)返回值域为(-pi,pi)return an;}
};
//由a数组求凸包传给 P ———— 没想到求凸包这么简单，之前想得太难了，艹
void getconvex(Point *a, int n, polygon &convex) {Point mi = a[0];for (int i = 1; i < n; i++) mi = min(mi, a[i]);sort(a, a + n, cmp(mi));  //排序：求凸包的准备工作（这里不是极角排序）int top = 0;  // top模拟栈顶convex.p[top] = a[0];convex.p[++top] = a[1];for (int i = 2; i < n; i++) {while (top > 0 &&(sgn(cross(convex.p[top - 1], convex.p[top], a[i])) <= 0))top--;convex.p[++top] = a[i];}convex.n = top + 1;
}
//点到直线距离，注意加绝对值。
double dispointtoline(Point a, Line b) {Point s = b.s, e = b.e;return fabs(cross(s, e, a)) / distance(s, e);
}
//点在直线上的投影
Point progpointtoline(Point a, Line b) {Point s = b.s, e = b.e;// dot不是cross，有找了一天的错。百炼成钢double k = dot(s, e, a) / distance(s, e) / distance(s, e);return s + (e - s) * k;
}
//调用凸包的p和n
double getminrectanglecover(Point *a, int n) {if (n < 3) return 0.0;double res = inf;int r1 = 1, r2 = 1, r3 = 1;a[n] = a[0];for (int i = 0; i < n; i++) {//卡逆时针第1，2，3个点a[r1],a[r2],a[r3]//注意别取等while (sgn((a[i + 1] - a[i]) * (a[r1 + 1] - a[r1])) > 0)r1 = (r1 + 1) % n;while (sgn(cross(a[i], a[i + 1], a[r2 + 1]) -cross(a[i], a[i + 1], a[r2])) >= 0)r2 = (r2 + 1) % n;if (i == 0) r3 = r2;  //绝活while (sgn((a[i + 1] - a[i]) * (a[r3 + 1] - a[r3])) < 0)r3 = (r3 + 1) % n;//! 1.更新Line li = Line(a[i], a[i + 1]);double area =dispointtoline(a[r2], li) *distance(progpointtoline(a[r1], li), progpointtoline(a[r3], li));if (sgn(area - res) < 0) {res = area;vp.clear();//! 3.操作点vp.pb(progpointtoline(a[r1], li));vp.pb(progpointtoline(a[r3], li));Line lii = Line(a[r2], li.angle());vp.pb(progpointtoline(a[r1], lii));vp.pb(progpointtoline(a[r3], lii));Point mi = vp[0];for (auto i : vp) mi = min(mi, i);sort(vp.begin(), vp.end(), cmp(mi));}}//打印printf("%.5lf\n", res);for (auto i : vp) {if (sgn(i.x - eps) <= 0) i.x = 0;if (sgn(i.y - eps) <= 0) i.y = 0;printf("%.5lf %.5lf\n", i.x, i.y);}//!返回值return res;
}
signed main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) a[i].input();getconvex(a, n, convex);getminrectanglecover(convex.p, convex.n);return 0;
}
/*
input:::
6 1.0 3.00000
1 4.00000
2.0000 1
3 0.0000
3.00000 6
6.0 3.0
output:::
18.00000
3.00000 0.00000
6.00000 3.00000
3.00000 6.00000
0.00000 3.00000
*/

2.2最小周长外接矩形

3.三角剖分

3.1洋葱三角剖分

3.2螺旋三角剖分

3.3四边形剖分

4.凸多边形属性

4.1合并凸包

4.2找公切线

4.3凸多边形交

4.4临界切线

4.5凸多边形矢量和

5.最薄截面

5.1最薄横截带

博客中出现的所有题目

题目	问题类型	涉及知识	主要步骤
P1452 [USACO03FALL]Beauty Contest G /【模板】旋转卡壳	求凸多边形直径	凸包，旋转卡壳	求凸包（先极角排序，然后再一个点一个点入栈）→\rightarrow→旋转卡壳（枚举边，卡每条边上的两个点对应的公共对踵点）
P3187 [HNOI2007]最小矩形覆盖	求凸包最小覆盖矩形	凸包，旋转卡壳，以及各种计算几何的基本操作（点到直线投影，点到直线距离，过某点的平行线等等）	先求凸包，然后卡三个点
J - 旋转卡壳 POJ - 3608	凸多边形间最短距离	凸包，旋转卡壳，线段与线段之间的距离等	先对两个凸包的点同时进行顺/逆时针排序，然后找到一个凸包的y坐标最小的点和另一个凸包的y坐标最大的点，然后枚举一个凸包的边，不断得到另一个点与该边所成叉积最大的点（注意，这里还有符号，叉积为正数的时候的值基本没啥用，叉积为负的时候我们才能得到最小距离值）。挺玄学，反正目前还没完全搞懂

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\(\color{#0066ff}{题目描述}\) 几千年前,有一个小王国位于太平洋的中部.王国的领土由两个分离的岛屿组成.由于洋流的冲击,两个岛屿的形状都变成了凸多边形.王国的国王想建立一座桥来连接 ...
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http://poj.org/problem?id=2187 题意: 最长的点对近距离的平方: 题解: 旋转卡壳法, 要注意的地方是,有所有点共线的情况,所以,(求凸包时)要将,共线点去出 : ...
POJ 2187 凸包+旋转卡壳
思路: 求个凸包旋转卡壳一下就求出来最远点对了注意共线情况也就是说凸包如果有一堆点共线保留端点即可 //By SiriusRen #include <cmath> #incl ...
Beauty Contest（凸包 + 旋转卡壳(模板)）
Beauty Contest 直接跑一个凸包,然后跑一跑旋转卡壳,求最大值就行了. /*Author : lifehappy */ #include <cstdio> #include & ...
POJ - 2187 Beauty Contest （求距离最远点对-凸包+旋转卡壳/枚举（旋转卡壳学习））
链接:https://vjudge.net/problem/POJ-2187 题意:求求距离最远点对. 思路:肯定为凸包上的点,可枚举,也可根据凸包性质旋转卡壳求对踵点. 参考博客: https:// ...

旋转卡壳凸包（不用一下子就学完所有）

目录

前言

参考博客

前置知识

1.极角排序

2.凸包（默认逆时针）

3.对踵点

旋转卡壳能解决的各类问题

1.计算距离

1.1凸多边形直径

1.2凸多边形宽

1.3凸多边形间最大距离

1.4凸多边形间最小距离

2.外接矩形

2.1最小面积外接矩形

2.2最小周长外接矩形

3.三角剖分

3.1洋葱三角剖分

3.2螺旋三角剖分

3.3四边形剖分

4.凸多边形属性

4.1合并凸包

4.2找公切线

4.3凸多边形交

4.4临界切线

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5.1最薄横截带

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