一、概述

上一篇文章我们介绍了惯性导航的解算方法，也即由陀螺仪和加速度计原始的角速度和加速度信息解算得到惯导的位置、速度、姿态等信息。

在实际系统中，由于陀螺仪和加速度计信息具有误差，那么必然导致导航误差的逐渐增大，我们需要通过理论形式给出它的误差传播方程。

这样做主要是基于两个目的，其一是，当我们能够定量计算导航误差和器件误差之间的关系时，那么设计导航系统应该选用什么精度等级的器件就有依据了。

其二是，在组合导航中，误差传播方程其实就是滤波器的状态方程，必然要有的。

二、误差方程推导

在介绍导航误差方程之前，我们先看一个简单的方程（感觉理解了以前的知识）

这种情况下要直接观察出误差方程，似乎没有那么直观了，方程越复杂，这个问题越严重，因此，我们要找到一个通用的办法来解决这样的问题。

其中一个行之有效的思路就是直接把 误差误差项 放入方程中去。由于下式成立：

这样就得到了我们想要的答案，其实，这可以作为这一类问题的统一解法，只不过方程更加复杂时，项数和化简步骤会多一些。

现在回到惯导问题上来，当我们想得到惯导误差的传播规律时，无非就是把上面的解法在导航解算方程上应用一下而已，

在低精度惯性导航的情况下（即不考虑地速和科氏加速度），就是这三个式子。

带误差的姿态、速度、位置可以分别表示为

其中是用等效旋转矢量表示的姿态误差，可展开为

我们根据(3)式和(4)式写出带误差的导航方程如下

我们把(5)式和(3)式联立，把相同项消掉，就可以得到误差方程

绕了一大圈，其实最后得到的是这样一个形式上比较简单的方程，从这个方程里，我们可以很明确的看到，姿态误差是角速度误差引起的，

速度误差是姿态误差和加速度误差引起的，位置误差是速度误差引起的。

在高精度惯导中，考虑地球模型时，地速、科氏加速度等因素都要假如模型中去，其实方法都是一样的，只是多了几项而已，我们可以直接给出结果。

这里面的量比较多，其中就是地速，而则是载体在地球表面运动时，产生的绕地球的角速度。因此，对比(7)式会发现，

(6)式中误差是沿着"姿态->速度->位置"的方向单向传递的，而(7)式中则有了反向传递。这种反向传递在误差的表现上会带来什么呢？我们接着往下看。

三、误差传播特性

求误差曲线，即求各误差量关于时间的函数。公式(6)是一个简单的微分方程，这个微分方程可以直接解析式求解，得到姿态误差、

速度误差、位置误差关于时间的函数。此处我们若仅了解其误差特性，也可以这样直观理解它。姿态误差的导数是一个常数，

那么姿态误差是关于时间的一次曲线，速度误差的导数包含了姿态误差，那么速度误差是关于时间的二次曲线，位置误差中包含速度误差，

那么位置误差是关于时间的三次曲线。明白这一点，我们其实就已经能够理解mems器件的导航误差不仅会越来越大，而且误差的增长会越来越快，

这和各位观察的实验现象也是完全相符的。

对于公式(7)，它对应的是高精度惯导的误差模型。这么复杂的方程已经无法直观去理解它了，一种解决的办法是 拉普拉斯变换，

先解变换后的方程，再对它的解求拉普拉斯反变换变得到时域上的解。如果把所有的误差量组成一个向量X，那么公式(7)可以写成下面的形式

它的拉帕拉斯变换为

其中X(0)是各误差量的初值,N(s)为sI-F的伴随矩阵。

这个方程求拉普拉斯反变换是非常复杂的，往往只求它的近似解，但是我们如果只要了解它的误差规律，那么倒不一定非得求个反变换。

对于(8)式中的拉普拉斯方程，学过自动控制理论的朋友们应该还记得，|sI-F|=0 的解即为这个方程的特征根，如果特征根全为纯虚根，即实部全为零，

那么它就是临界稳定系统，即状态量随时间是周期震荡的。本篇文章已经堆砌太多公式了，所以我们就不给出它的各个根的数学表示了，

而是直接结论性地给出它有六个虚根，对应三个不同周期的震荡，实际误差曲线（如下图）中，这三种周期同时存在，小周期被大周期调制。

速度误差曲线（图片来自严恭敏老师的《捷联惯导算法与组合导航原理》）

四、总结与思考

1. 误差规律分析的必要性

此处说的 误差规律指的是误差随时间变化的曲线，而不是指误差的状态方程，后者的必要性是显然的，因为将来做滤波的时候，它就是滤波器的状态方程，

是必不可少的。而对于误差规律，我认为它的必要性在于让我们知道什么是可行的。当我们设计一套导航系统，首先要指定的是它的精度指标，

而怎样从导航系统的精度指标转换成惯性器件的精度指标则是必不可少的一个步骤，毕竟我们设计硬件系统时看的都是陀螺仪和加速度计的精度手册。

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