一个有趣的博弈或推理游戏——除数博弈（动态规划与归纳法）

除数博弈

除数博弈（Divisor Game）是我在leetcode上遇到的一个题目，它的描述如下：

Alice and Bob take turns playing a game, with Alice starting first.

Initially, there is a number N on the chalkboard. On each player's turn, that player makes a move consisting of:

Choosing any x with 0 < x < N and N % x == 0.
Replacing the number N on the chalkboard with N - x.
Also, if a player cannot make a move, they lose the game.

Return True if and only if Alice wins the game, assuming both players play optimally.

来源：力扣（LeetCode）
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中文是：

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

给出的示例是：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

题目理解

做题的第一步肯定是要理解题意。

首先，游戏本身规则只有两条，是很简单易懂的，关键在于如何选择一个数x使自己能够获胜。

其中，题目给出了一个限定条件：假设两个玩家都以最佳状态参与游戏（play optimally）。这是一个很重要的条件，这告诉我们玩家在选择x时不是随机的（都选1 或者选尽可能大的因数等等），因为这么选似乎与自己的胜利没多大关系。他们是有针对性地选择一个有利于自己的数字。

从上述角度思考，可以大致得到解决题目的方向。

动态规划解法

如果假设给定任意一个整数N，我们要想取得胜利，必须找到一个数x，它既是N的因数，又使得N-x的结果是输的。

也就是说，我们只要找到了这个数x，就可以选择它，然后扔给对方N-x让他输掉。相反地，如果我们找不到，那么我们就是输家。

由于要用到以前的状态（即N-x是赢还是输），所以我们自然想到了动态规划。做法如下：

1. 动态规划的各状态为拿到该数会输还是赢，对应False和True。易知dp[1] = False。由此建立了边界条件。

2. 对于一个数N，可以先初始化其状态为False。要想求得它的真实状态，则要从1到N-1的循环中寻找它的因数（ N%x==0 ? ），并判断N-x的状态是否为False，若是，这个数N的状态为True。若没有，则维持原状态False。

最后可以求得N的状态，通过判断N的状态是True还是False来给出胜负与否。

代码如下：

bool divisorGame(int N)
{bool dp[N + 1]; // 多开一个好看一点dp[1] = false;for (int i = 2; i <= N; i++) // 建立状态数组{dp[i] = false;for (int j = 1; j < i; j++){if (i % j == 0 && dp[i - j] == false) //满足那两个条件才能获胜{dp[i] = true;break;}}}return dp[N]; // 返回第N个状态
}

代码的时间复杂度较高，只能击败大概20-30%的提交者。那么是否还有一些潜在规律还没有被发现？是否能够进一步优化算法呢？答案是肯定的，要想击败100%，你只需要一行代码。

归纳法

归纳法的思路跟动态规划很像，也是从第1个状态往后推，一直推到第N个，唯一不同的是，它发现了两条潜在的定律：

任何奇数的因数都是奇数，不可能有偶数，因此奇数减去任意一个因数必然得到偶数。
任何偶数的因数可以是奇数也可以是偶数，但是我们只要取因数1，减去1就必然得到一个奇数。

这两条定律有什么用呢？

考虑到边界状态1是False，那么我拿到2，我就可以减1让你输，因此2是True。

再考虑3，根据规律一，你必然扔给给对方一个偶数，偶数目前只有2，对方拿到2是必然赢的，所以你会输。

再考虑4，因为3是肯定输的，那我就故意减1，让你输，所以4是True。

再考虑5，因为处理后会给对方偶数，偶数又是必胜的，所以5是会输的。

……

由此，我们就发现了这个游戏的奥秘，你拿到奇数，你必然会输（若对方知道规律），因为你处理后只能给对方偶数，如果对方知道奇数会输，偶数会赢，必然返你一个奇数（减1必然是奇数），你无法逃出规律一的魔咒，只能等着输。反之亦然。

因为题目中说，双方都会play optimally。那么代码就很简单了：

bool divisorGame(int N)
{return N % 2 == 0; // 判断是否为偶数
}

不妨在生活中玩一下

当你知道归纳法的规律，你就能对一个不知道规律的对手操纵游戏的进行，让对方一直输下去……直到他也可能摸索出了规律哈哈。