花了10分钟,终于明白矩阵的逆到底有什么用
首先,我们先来看看这个数的倒数:
·倒数
其实矩阵的逆矩阵也跟倒数的性质一样,不过只是我们习惯用A-1表示:
问题来了,既然是和倒数的性质类似,那为什么不能写成1/A?
其实原因很简单,主要是因为矩阵不能被除。不过 1/8倒可以被写成 8-1。
那矩阵的逆和倒数还有其他相似之处吗?
- 当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1。
8 × (1/8) = 1
- 当一个矩阵乘以逆时,我们得到了单位矩阵(而单位矩阵,其实也就是矩阵中的“1”)。
A × A-1 = I
- 而此时我们将矩阵的逆放在前面,很明显,结果还是一样的
(1/8) × 8 = 1
A-1 × A = I
模友:超模君,刚才讲的“单位矩阵”是什么意思,你还没说明呢
超模君:别急,慢慢来!关于单位矩阵,其实就是一个相当于数字“1”的矩阵:
·3x3的单位矩阵
那怎样的矩阵才是单位矩阵呢?
①它是“正方形”(行数与列数相同);
②它的对角线上的数字都是1,其他地方都是0。
- 那问题来了,我们该如何去计算矩阵的逆呢?
换句话说:交换a和d的位置,将负数置于b和c的前面,并将所有事物除以行列式(ad-bc)
举个栗子:
不过该如何去判断这是正确的答案呢?
那这个时候就要用到我们最开始讲的公式:
A × A-1 = I
所以,让我们检查一下,当我们将矩阵乘以矩阵的逆时,会是怎样的?
嘿嘿嘿嘿!我们最终得到了单位矩阵!
留个作业:试试这样,能不能得到单位矩阵呢?
其实,在了解矩阵的过程中,总是会有个疑问:为什么我们需要矩阵的逆呢?
其主要原因是:矩阵没办法被除。(这个时间各位模友可以回想一下:是不是从来都没看过矩阵被除)
换句话说,矩阵根本就没有被除的概念。
而矩阵的逆,正好是被我们用来解决“矩阵除法”的问题。
各位模友,假如我们没有“除法”这个规则,那当有人问你“如何把10分苹果平分给两个人”。
想到怎么解答没?
那我们是不是可以采取2的倒数(1/2=0.5)来计算,那答案就很清晰啦:
10 × 0.5 = 5
也就是每个人5个苹果。
那我们是不是也可以将同样的方法应用到矩阵上呢?
那故事就这么开始了,我们知道矩阵A和矩阵B,并且想要找到矩阵X。
XA = B
那最好的方法就是直接除以A(得到X = B / A),但事实上我们不能直接除以矩阵A。
但是我们却可以在公式两边都乘以A-1:
XAA-1= BA-1
因为我们都知道AA-1=I,所以也就能得到
XI = BA-1
而此时单位矩阵I我们是可以直接去掉的,也就能得到:
X = BA-1
所以呢,此时我们只要知道怎么计算A-1,那就可以直接算出矩阵X(而对于计算A-1早已解决)。
丢个栗子:
有一个几个家庭组团出去旅行,出发的时候是乘坐大巴,每位儿童3元,每个大人3.2元,一共花费了118.4元。
在回程时,他们选择乘坐火车,每名儿童3.5元,每名成人3.6元,总计135.20元。
那问题来了,这里边有多少个小孩和大人呢?
虽然这道题用线性方程组来解很简单,但这次我们尝试用矩阵思维来解答。
首先,我们设置好矩阵(此时要注意好矩阵的行和列是否正确):
那我们根据公式:
XA = B
要解决这个问题,那也就是得到矩阵A的倒数:
现在我们可以使用以下方法来解决:
X = BA-1
结果很明显,一共有16个孩子和22个大人!
- 那问题来了,矩阵的逆到底有什么用?
事实上,像这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物,视频游戏和计算机动画等许多地方。
此外,它也是解决线性方程组的一种方法。
虽然求矩阵的逆,只要打开MATLAB, 输入inv(A)。
但超模君这里就要插一句话:
虽然这个过程是由计算机完成,但我们还是有必要去了解公式,因为这正是数学的美妙之处!
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