【Markdown笔记】数学公式三角函数

2024-05-16 10:51:46

【Markdown笔记】数学公式三角函数

在Markdown中使用LaTeX形式的数学公式。

基本

定义

任意角α\alphaα的终边与单位圆交于点P(x,y)P(x,y)P(x,y)时，sin⁡α=y\sin\alpha=ysinα=y ，cos⁡α=x\cos\alpha=xcosα=x ，tan⁡α=yx\tan\alpha=\cfrac{y}{x}tanα=xy

对应的LaTeX公式

$\alpha$
$P(x,y)$
$\sin\alpha=y$
$\cos\alpha=x$
$\tan\alpha=\cfrac{y}{x}$

同角三角函数关系

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1sin2α+cos2α=1，sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alphacosαsinα=tanα

对应的LaTeX公式

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha$

诱导公式

将角nπ2±α\cfrac{n\pi}{2}\pm\alpha2nπ±α的三角函数转化为角α\alphaα的三角函数。

公式一:设α\alphaα为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α(k∈Z)\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha(k\in Z)sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α(k∈Z)\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha(k\in Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan⁡(2kπ+α)=tan⁡α(k∈Z)\tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha(k\in Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot⁡(2kπ+α)=cot⁡α(k∈Z)\cot(2k\pi+\alpha)=\cot\alpha(k\in Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

对应的LaTeX公式

$\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha(k\in Z)$
$\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha(k\in Z)$
$\tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha(k\in Z)$
$\cot(2k\pi+\alpha)=\cot\alpha(k\in Z)$

公式二:设α\alphaα为任意角，π+α\pi+\alphaπ+α的三角函数值与α\alphaα的三角函数值之间的关系

sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alphasin(π+α)=−sinα
cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alphacos(π+α)=−cosα
tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alphatan(π+α)=tanα
cot⁡(π+α)=cot⁡α\cot(\pi+\alpha)=\cot\alphacot(π+α)=cotα

对应的LaTeX公式

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$
$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$
$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$
$\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$

公式三:任意角α\alphaα与−α- \alpha−α的三角函数值之间的关系

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alphasin(−α)=−sinα
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alphacos(−α)=cosα
tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha)=-\tan\alphatan(−α)=−tanα
cot⁡(−α)=−cot⁡α\cot(-\alpha)=-\cot\alphacot(−α)=−cotα

对应的LaTeX公式

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$
$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$
$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$
$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$

公式四:利用公式二和公式三可以得到π−α\pi-\alphaπ−α与α\alphaα的三角函数值之间的关系

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alphasin(π−α)=sinα
cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alphacos(π−α)=−cosα
tan⁡(π−α)=−tan⁡α\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alphatan(π−α)=−tanα
cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alphacot(π−α)=−cotα

对应的LaTeX公式

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$
$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$
$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

公式五:利用公式一和公式三可以得到2π−α2\pi-\alpha2π−α与α\alphaα的三角函数值之间的关系

sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alphasin(2π−α)=−sinα
cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alphacos(2π−α)=cosα
tan⁡(2π−α)=−tan⁡α\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alphatan(2π−α)=−tanα
cot⁡(2π−α)=−cot⁡α\cot(2\pi-\alpha)=-\cot\alphacot(2π−α)=−cotα

对应的LaTeX公式

$\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha$
$\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$
$\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
$\cot(2\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

公式六:π2±α\cfrac{π}{2}\pm\alpha2π±α与α\alphaα的三角函数值之间的关系

sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin(\cfrac{π}{2}+\alpha)=\cos\alphasin(2π+α)=cosα
sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\cos\alphasin(2π−α)=cosα
cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\sin\alphacos(2π+α)=−sinα
cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\sin\alphacos(2π−α)=sinα
tan⁡(π2+α)=−cot⁡α\tan(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\cot\alphatan(2π+α)=−cotα
tan⁡(π2−α)=cot⁡α\tan(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\cot\alphatan(2π−α)=cotα
cot⁡(π2+α)=−tan⁡α\cot(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\tan\alphacot(2π+α)=−tanα
cot⁡(π2−α)=tan⁡α\cot(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\tan\alphacot(2π−α)=tanα

对应的LaTeX公式

$\sin(\cfrac{π}{2}+\alpha)=\cos\alpha$
$\sin(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\cos\alpha$
$\cos(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$
$\cos(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\sin\alpha$
$\tan(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\cot\alpha$
$\tan(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\cot\alpha$
$\cot(\cfrac{π}{2}+\alpha)=-\tan\alpha$
$\cot(\cfrac{π}{2}-\alpha)=\tan\alpha$

奇变偶不变，函数看象限

sin⁡(nπ2+α)={(−1)n2sin⁡α(n为偶数)(−1)n−12cos⁡α(n为奇数)\sin(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha) = \begin{cases} (-1)^{\cfrac{n}{2}}\sin\alpha(n为偶数)\\(-1)^{\cfrac{n-1}{2}}\cos\alpha(n为奇数)\end{cases}sin(2nπ+α)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(−1)2nsinα(n为偶数)(−1)2n−1cosα(n为奇数)

cos⁡(nπ2+α)={(−1)n2cos⁡α(n为偶数)(−1)n+12sin⁡α(n为奇数)\cos(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha) = \begin{cases} (-1)^{\cfrac{n}{2}}\cos\alpha(n为偶数)\\(-1)^{\cfrac{n+1}{2}}\sin\alpha(n为奇数)\end{cases}cos(2nπ+α)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧(−1)2ncosα(n为偶数)(−1)2n+1sinα(n为奇数)

对应的LaTeX公式
$\sin(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha) = \begin{cases} (-1)^{\cfrac{n}{2}}\sin\alpha(n为偶数)\\(-1)^{\cfrac{n-1}{2}}\cos\alpha(n为奇数)\end{cases}$

$\cos(\cfrac{n\pi}{2}+\alpha) = \begin{cases} (-1)^{\cfrac{n}{2}}\cos\alpha(n为偶数)\\(-1)^{\cfrac{n+1}{2}}\sin\alpha(n为奇数)\end{cases}$

三角函数的性质与图像

sin

y=sin⁡x(x∈R)y=\sin x (x\in R)y=sinx(x∈R)

值域：[−1,1][-1,1][−1,1]

周期：2kπ2k\pi2kπ

单调区间：

增：[−π2+2kπ,π2+2kπ]\left [-\cfrac{\pi}{2}+2k\pi,\cfrac{\pi}{2}+2k\pi \right ][−2π+2kπ,2π+2kπ]

减：[π2+2kπ,3π2+2kπ]\left [\cfrac{\pi}{2}+2k\pi,\cfrac{3\pi}{2}+2k\pi \right ][2π+2kπ,23π+2kπ]

奇偶性：奇函数

对称中心：(kπ,0)(k\pi,0)(kπ,0)

对称轴：x=kπ+π2x=k\pi+\cfrac{\pi}{2}x=kπ+2π

对应的LaTeX公式

$y=\sin x (x\in R)$

值域： $[-1,1]$

周期： $2k\pi$

单调区间：

增： $\left [-\cfrac{\pi}{2}+2k\pi,\cfrac{\pi}{2}+2k\pi \right ]$

减： $\left [\cfrac{\pi}{2}+2k\pi,\cfrac{3\pi}{2}+2k\pi \right ]$

对称中心： $(k\pi,0)$

对称轴： $x=k\pi+\cfrac{\pi}{2}$

cos

y=cos⁡x(x∈R)y=\cos x (x\in R)y=cosx(x∈R)

值域：[−1,1][-1,1][−1,1]

周期：2kπ2k\pi2kπ

单调区间：

增：[−π+2kπ,2kπ]\left [-\pi+2k\pi,2k\pi \right ][−π+2kπ,2kπ]

减：[2kπ,2kπ+π]\left [2k\pi,2k\pi+\pi \right ][2kπ,2kπ+π]

奇偶性：偶函数

对称中心：(kπ+π2,0)(k\pi+\cfrac{\pi}{2},0)(kπ+2π,0)

对称轴：x=kπx=k\pix=kπ

对应的LaTeX公式

$y=\cos x (x\in R)$

值域： $[-1,1]$

周期： $2k\pi$

单调区间：

增： $\left [-\pi+2k\pi,2k\pi \right ]$

减： $\left [2k\pi,2k\pi+\pi \right ]$

对称中心： $(k\pi+\cfrac{\pi}{2},0)$

对称轴： $x=k\pi$

tan

y=tan⁡x(x≠kπ+π2)y=\tan x (x\ne k\pi+\cfrac{\pi}{2})y=tanx(x=kπ+2π)

值域：R⁡\operatorname{R}R

周期：kπk\pikπ

单调区间：

增：[−π2+kπ,π2+kπ]\left [-\cfrac{\pi}{2}+k\pi,\cfrac{\pi}{2}+k\pi \right ][−2π+kπ,2π+kπ]

奇偶性：奇函数

对称中心：(kπ2,0)\left (\cfrac{k\pi}{2},0\right )(2kπ,0)

对称轴：无

对应的LaTeX公式

$y=\tan x (x\ne k\pi+\cfrac{\pi}{2})$

值域： $\operatorname{R}$

周期： $k\pi$

单调区间：

增： $\left [-\cfrac{\pi}{2}+k\pi,\cfrac{\pi}{2}+k\pi \right ]$

对称中心： $\left (\cfrac{k\pi}{2},0\right )$

图形变换

平移变换

上下平移

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像平移∣k∣|k|∣k∣得y=f(x)+ky=f(x)+ky=f(x)+k图像，k>0k > 0k>0向上，k<0k < 0k<0向下。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$|k|$
$y=f(x)+k$
$k > 0$
$k < 0$

左右平移

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像平移∣φ∣|\varphi|∣φ∣得y=f(x+φ)y=f(x+\varphi)y=f(x+φ)图像，φ>0\varphi > 0φ>0向左，φ<0\varphi < 0φ<0向右。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$|\varphi|$
$y=f(x+\varphi)$
$\varphi > 0$
$\varphi < 0$

伸缩变换

x轴方向

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像各点把横坐标变为原来的ω\omegaω倍得y=f(1ωx)y=f(\cfrac{1}{\omega}x)y=f(ω1x)的图像。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$\omega$
$y=f(\cfrac{1}{\omega}x)$

y轴方向

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像各点把纵坐标变为原来的AAA倍得y=Af(x)y=Af(x)y=Af(x)的图像。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$A$
$y=Af(x)$

对称变换

中心对称

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像关于点(a,b)(a,b)(a,b)对称图像的解析式是y=2b−f(2a−x)y=2b-f(2a-x)y=2b−f(2a−x)。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$(a,b)$
$y=2b-f(2a-x)$

轴对称

y=f(x)y=f(x)y=f(x)图像关于直线x=ax=ax=a对称图像的解析式是y=f(2a−x)y=f(2a-x)y=f(2a−x)。

对应的LaTeX公式

$y=f(x)$
$x=a$
$y=f(2a-x)$

变换公式

正弦

和角与差角公式：sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

二倍角公式：sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alphasin2α=2sinαcosα

sin⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡2α\sin2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}sin2α=1+tan2α2tanα

对应的LaTeX公式

和角与差角公式： $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

二倍角公式： $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

$\sin2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

余弦

和角与差角公式：cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

二倍角公式：cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alphacos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α

cos⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α\cos2\alpha=\cfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}cos2α=1+tan2α1−tan2α

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\cfrac{1-\cos2\alpha}{2}sin2α=21−cos2α

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\cfrac{1+\cos2\alpha}{2}cos2α=21+cos2α

对应的LaTeX公式

和角与差角公式： $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

二倍角公式： $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$

$\cos2\alpha=\cfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$

$\sin^2\alpha=\cfrac{1-\cos2\alpha}{2}$

$\cos^2\alpha=\cfrac{1+\cos2\alpha}{2}$

正切

和角与差角公式：tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ

二倍角公式：tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}tan2α=1−tan2α2tanα

对应的LaTeX公式

和角与差角公式： $\tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

二倍角公式： $\tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

正弦定理

定理

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2RsinAa=sinBb=sinCc=2R (RRR外接圆半径)

对应的LaTeX公式

$\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2R$

变形

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (RRR外接圆半径)

对应的LaTeX公式

$a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC$

类型

三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。

影射定理

a=bcos⁡C+ccos⁡Ba=b\cos C+c\cos Ba=bcosC+ccosB

b=acos⁡C+ccos⁡Ab=a\cos C+c\cos Ab=acosC+ccosA

c=acos⁡B+bcos⁡Ac=a\cos B+b\cos Ac=acosB+bcosA

对应的LaTeX公式

$a=b\cos C+c\cos B$

$b=a\cos C+c\cos A$

$c=a\cos B+b\cos A$

余弦定理

定理

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos Aa2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos Bb2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos Cc2=a2+b2−2abcosC

对应的LaTeX公式

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

变形

cos⁡A=b2+c2−a22bc=(b+c)2−a22bc−1\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{(b+c)^2-a^2}{2bc}-1cosA=2bcb2+c2−a2=2bc(b+c)2−a2−1

对应的LaTeX公式

$\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\cfrac{(b+c)^2-a^2}{2bc}-1$

类型

两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边

面积公式

基本公式

S=12a⋅ha=12b⋅hb=12c⋅hc=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡BS=\cfrac{1}{2}a\cdot h_a=\cfrac{1}{2}b\cdot h_b=\cfrac{1}{2}c\cdot h_c=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}ac\sin BS=21a⋅ha=21b⋅hb=21c⋅hc=21absinC=21bcsinA=21acsinB

（hah_aha、hbh_bhb、hch_chc分别表示aaa、bbb、ccc边上的高）

对应的LaTeX公式

$S=\cfrac{1}{2}a\cdot h_a=\cfrac{1}{2}b\cdot h_b=\cfrac{1}{2}c\cdot h_c=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}ac\sin B$

导出公式

S=abc4RS=\cfrac{abc}{4R}S=4Rabc（RRR外接圆半径）

S=12(a+b+c)rS=\cfrac{1}{2}(a+b+c)rS=21(a+b+c)r（rrr内切圆半径）

对应的LaTeX公式

$S=\cfrac{abc}{4R}$

$S=\cfrac{1}{2}(a+b+c)r$

参考资料

高中数学公式

LaTeX公式编辑器帮助文档

本文链接：https://blog.csdn.net/u012028275/article/details/119839411

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