【数据结构与算法】常用的十大算法

常用的十大算法：

文章目录

常用的十大算法：
- 1.二分查找算法(非递归)：
- 2.分治算法
- - 2.1分治算法介绍
  - 2.2 分治算法的基本步骤
  - 2.3 分治算法最佳实践-汉诺塔
  - 2.4 动态规划算法
  - - 2.4.1应用场景-背包问题
    - 2.4.2 动态规划算法介绍
    - 2.4.3 动态规划算法最佳实践-背包问题
    - 2.4.4 动态规划-背包问题的代码实现
- 3. KMP算法
- - 3.1 应用场景-字符串匹配问题
  - 3.2 暴力匹配算法
  - 3. 3 KMP 算法介绍
  - - 3.3.1 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题
- 4.贪心算法
- - 4.1 应用场景-集合覆盖问题
  - 4.2 贪心算法介绍
  - 4.3 贪心算法最佳应用-集合覆盖
  - 4.4 贪心算法注意事项和细节
- 5. 普里姆算法
- - 5.1 应用场景-修路问题
  - 5.2 最小生成树
  - 5.3 普里姆算法介绍
  - 5.4 普里姆算法最佳实践(修路问题)
- 6.克鲁斯卡尔算法
- - 6.1 应用场景-公交站问题
  - 6.2 克鲁斯卡尔算法介绍
  - 6.3 克鲁斯卡尔算法图解说明
  - 6.4 克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
- 7 迪杰斯特拉算法
- - 7.1 应用场景-最短路径问题
  - 7.2 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
  - 7.3 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
  - 7.4 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
- 8.弗洛伊德算法
- - 8.1 弗洛伊德(Floyd)算法介绍
  - 8.2 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
  - 8.3 弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
- 9. 马踏棋盘算法
- - 9.1 马踏棋盘算法介绍和游戏演示
  - 9.2 马踏棋盘游戏代码实现

1.二分查找算法(非递归)：

代码：

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/21 15:13* @version V1.0*//*** @author lmy* @ClassName BinarySearchNoRecur* @Description 二分查找算法（非递归）* @date 2020/3/21 15:13**/public class BinarySearchNoRecur {public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 3, 8, 10, 11, 67, 100};binarySearch(arr, 10);}// 二分查找public static int binarySearch(int[] arr, int target) {int left = 0;int right = arr.length;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target) {return mid;} else if (arr[mid] > target) {right = mid - 1;}else {left = mid + 1;}}return -1;}}

2.分治算法

2.1分治算法介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
分治算法可以求解的一些经典问题

ü 二分搜索

ü 大整数乘法

ü 棋盘覆盖

ü 合并排序

ü 快速排序

ü 线性时间选择

ü 最接近点对问题

ü 循环赛日程表

ü 汉诺塔

2.2 分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1) 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题

2) 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

3) 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

2.3 分治算法最佳实践-汉诺塔

Ø 汉诺塔游戏的演示和思路分析:

如果是有一个盘， A->C

如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘

先把最上面的盘 A->B
把最下边的盘 A->C
把 B 塔的所有盘从 B->C

代码：

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/21 15:44* @version V1.0*//*** @author lmy* @ClassName HannoiTower* @Description 分子算法==汉诺塔问题* @date 2020/3/21 15:44**/public class HannoiTower {public static void main(String[] args) {hannoiTower(3, 'A', 'B', 'C');}// 解决汉诺塔问题public static void hannoiTower(int num, char a, char b, char c) {if (num == 1) {System.out.println("第1个盘从" + a + "->" + c);} else {hannoiTower(num - 1, a, c, b);System.out.println("第" + num + "个盘从" + a + "->" + c);hannoiTower(num - 1, b, a, c);}}}

2.4 动态规划算法

2.4.1应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

2.4.2 动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

2.4.3 动态规划算法最佳实践-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复

思路分析和图解

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

图解的分析

2.4.4 动态规划-背包问题的代码实现

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/22 11:33* @version V1.0*//*** @author lmy* @ClassName DynamicDemo* @Description 动态规划算法==解决背包问题* @date 2020/3/22 11:33**/public class DynamicDemo {public static void main(String[] args) {int[] w = {1, 4, 3};int[] val = {1500, 3000, 2000};int m = 4;int n = val.length;// 记录商品放入的情况int[][] path = new int[n + 1][m + 1];int[][] v = new int[n + 1][m + 1];// 初始化第一行和第一列for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0;}for (int i = 1; i < v.length; i++) {for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {if (w[i - 1] > j) {v[i][j] = v[i - 1][j];} else {//                    v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];path[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i - 1][j];}}}}for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}int i = path.length - 1;int j = path[0].length -1;while (i > 0 && j > 0) {if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i - 1];}i--;}}}

3. KMP算法

3.1 应用场景-字符串匹配问题

Ø 字符串匹配问题：：

有一个字符串 str1= ““硅硅谷尚硅谷你尚硅尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好””，和一个子串 str2=“尚硅谷你尚硅你”
现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1

3.2 暴力匹配算法

如果用暴力匹配的思路，并假设现在 str1 匹配到 i 位置，子串 str2 匹配到 j 位置，则有:

如果当前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），则 i++，j++，继续匹配下一个字符
如果失配（即 str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为 0。
用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
暴力匹配算法实现.

代码：

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/23 10:46* @version V1.0*//*** @author lmy* @ClassName ViolenceMatch* @Description 暴力匹配算法* @date 2020/3/23 10:46**/public class ViolenceMatch {public static void main(String[] args) {String str1 = "你中有我，我中有你，但你不是我";String str2 = "有你";int index = violenceMatch(str1, str2);System.out.println(index);}// 暴力匹配public static int violenceMatch(String str1, String str2) {char[] s1 = str1.toCharArray();char[] s2 = str2.toCharArray();int s1Len = s1.length;int s2Len = s2.length;int i = 0;int j = 0;while (i < s1Len && j < s2Len) {if (s1[i] == s2[j]) {i++;j++;} else {i = i - (j - 1);j = 0;}}// 判断是否匹配成功if (j == s2Len) {return i - j;} else {return -1;}}}

3. 3 KMP 算法介绍

KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串 S 内查找一个模式串 P 的出现位置，这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这 3 人的姓氏命名此算法.
KMP 方法算法就利用之前判断过信息，通过一个 next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过 next 数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间
参考资料：https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html

3.3.1 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题

Ø 字符串匹配问题：：

有一个字符串 str1= “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和一个子串 str2=“ABCDABD”
现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1
要求：使用 KMP 算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法.

Ø 思路分析图解

\4. 接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。

\5. 遇到 Str1 有一个字符与 Str2 对应的字符不符合。

6.这时候，想到的是继续遍历 Str1 的下一个字符，重复第 1 步。(其实是很不明智的，因为此时 BCD 已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与 D 不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。 KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)

\7. 怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对 Str2 计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

12.逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了。

\13.

介绍《部分匹配表》怎么产生的先介绍前缀，后缀是什么

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，

－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为 0；

－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为 0；

－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度 0；

－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为 0；

－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为 1；

－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，

长度为 2；

－”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD,

D]，共有元素的长度为 0。

代码实现：

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/23 11:32* @version V1.0*//*** @author lmy* @ClassName KMPAlgorithm* @Description KMP算法匹配字符串* @date 2020/3/23 11:32**/public class KMPAlgorithm {public static void main(String[] args) {String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";String str2 = "ABCDABD";int[] kmpNext = getKmpNext(str2);int index = kmpSearch(str1, str2, kmpNext);System.out.println(index);}public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {for (int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) {while (j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {j = next[j - 1];}if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {j++;}if (j == str2.length()) {return i - j + 1;}}return -1;}// 获取一个字符串的部分匹配值public static int[] getKmpNext(String dest) {int[] next = new int[dest.length()];next[0] = 0;for (int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {while (j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {j = next[j-1];}if (dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {j++;}next[i] = j;}return next;}}

4.贪心算法

4.1 应用场景-集合覆盖问题

假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

4.2 贪心算法介绍

贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优**(即最有利)**的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

4.3 贪心算法最佳应用-集合覆盖

假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

```
 思路分析:
```

Ø 如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有 n 个广播台，则广播台的组合总共有

2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算 10 个子集，如图:

Ø 使用贪婪算法，效率高:

目前并没有算法可以快速计算得到准备的值，使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
将这个电台加入到一个集合中(比如 ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
重复第 1 步直到覆盖了全部的地区分析的图解:

代码实现

package com.data.alg;
/*** @Project data_structures* @Package com.data.alg* @author lmy* @date 2020/3/24 10:39* @version V1.0*/import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Map;/*** @author lmy* @ClassName GreedyAlgorithm* @Description 贪心算法==>>覆盖问题* @date 2020/3/24 10:39**/public class GreedyAlgorithm {public static void main(String[] args) {HashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>();HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();hashSet1.add("北京");hashSet1.add("上海");hashSet1.add("天津");HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();hashSet2.add("北京");hashSet2.add("广州");hashSet2.add("深圳");HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();hashSet3.add("成都");hashSet3.add("上海");hashSet3.add("杭州");HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();hashSet4.add("天津");hashSet4.add("上海");HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();hashSet5.add("杭州");hashSet5.add("大连");broadcasts.put("K1", hashSet1);broadcasts.put("K2", hashSet2);broadcasts.put("K3", hashSet3);broadcasts.put("K4", hashSet4);broadcasts.put("K5", hashSet5);HashSet<String> allAreas = new HashSet<>();for (Map.Entry<String, HashSet<String>> entry : broadcasts.entrySet()) {for (String s : entry.getValue()) {allAreas.add(s);}}//        for (String allArea : allAreas) {//            System.out.println(allArea);
//        }ArrayList<String> selects = new ArrayList<>();HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();String maxKey = null;while (allAreas.size() != 0) {maxKey = null;for (String key : broadcasts.keySet()) {tempSet.clear();HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);tempSet.addAll(areas);tempSet.retainAll(allAreas);if (tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get(maxKey).size())) {maxKey = key;}}if (maxKey != null) {selects.add(maxKey);allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));}}System.out.println(selects);}}

4.4 贪心算法注意事项和细节

贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果
比如上题的算法选出的是 K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果 K2 的使用成本低于 K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.

5. 普里姆算法

5.1 应用场景-修路问题

Ø 看一个应用场景和问题：

1) 有胜利乡有 7 个村庄**(A, B, C, D, E, F, G)** ，现在需要修路把 7 个村庄连通

2) 各个村庄的距离用边线表示**(权)** ，比如 A – B 距离 5 公里

3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短**?** 思路**