文章目录

前言
一、可分离变量的微分方程
二、一阶线性微分方程
三、其他类型
四、一个误区
总结

评论区告诉我你看到什么后点进来的，嘿嘿

前言

面对千奇百怪的微分方程，好不容易找到了对应的微分方程类型，但在答题的过程中又遇到绝对值这个烦人的家伙，因为我们知道形如 $\frac{dx}{x}$ 一类的函数求积分后会得到对数函数并且拖着一个绝对值，我们去看参考答案对绝对值的处理方法也是不知所以然，不知道为什么那么做，这时我们的心中就会有一万只羊驼飞奔而过，如果你在解题中也有这样的疑问，那么

一、可分离变量的微分方程

接下来让我们用一系列的例子来看看其中有什么猫腻，读者可以将例子作为练习完成。

${\color{Red} x\frac{dy}{dx}-ylny=0}$

分离变量得 $\frac{dy}{ylny}=\frac{dx}{x}$

两端积分得 $ln|lny|=ln|x|+lnc$

${\color{Red} e^{x}(e^{y}-1)dx+e^{y}(e^{x}+1)dy=0}$

分离变量得 $\frac{e^{y}}{e^{y}-1}dy=-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}dx$

两端积分得 $ln|e^{y}-1|=-ln|e^{x}+1|+lnc$

${\color{Red} cosxsinydx+sinxcosydy=0}$

分离变量得 $\frac{cosy}{siny}dy=-\frac{cosx}{sinx}dx$

两端积分得 $ln|siny|=-ln|sinx|+lnc$

观察以上三种类型我们发现分离变量并且积分后等式两端都均含有ln,并且常数也可以化为ln的形式，那么我们就可以将等式两端化简为相同的 $ln|\cdots |$ 的形式，最后把绝对值去掉，这是中规中矩的做法。

如果偷懒的话我们发现方程中不含有 $\sqrt{2},\sqrt{3}$ 一类的无理常数因子，我们完全在两端积分的结果中就可以把绝对值直接扔掉，但是肯定有例外：

譬如 ${\color{Red} \sqrt{2}x\frac{dy}{dx}=y}$

分离变量得 $\sqrt{2}\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

两端积分得 $\sqrt{2}ln|y|=ln|x|+lnc$

我们如果直接在积分的结果中就把绝对值扔掉得到的结果是 $y^{\sqrt{2}}=cx$

然而实际上的结果却是 $|y|^{\sqrt{2}}=cx$

显然我们发现上面的结果漏掉了一种情况

所以当我们发现微分方程中出现无理数因子时就要考虑要不要用偷懒的方法了

二、一阶线性微分方程

通解形式为 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+c)$

在一阶线性微分方程中，最有可能出现绝对值的地方就是P(x)

${\color{Magenta} \frac{dy}{dx}-\frac{y}{x+1}=x+1}$

这是正常解法：

可以稍微偷个懒：

我们发现偷个懒的解法和正常的解法结果竟然一模一样，那么是不是所有的这类题都可以在做的时候偷个懒，求积分后不加绝对值

嘿嘿，你想多了

${\color{Magenta} \frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=x}$

这时候你要再偷懒把积分后的绝对值扔掉，你就只能得到当x>0时的结果

那么问题来了，什么时候能把那讨厌的绝对值丢掉呢？

除了和可分离变量的要求一样的是微分方程P(x)中不能含有无理数因子,还有就是P(x)中没有偶数的分母，我们就可以偷个懒积分后不加绝对值。

但是注意：除了P(x)的其他位置上出现了绝对值，在不确定绝对值里面正负的情况下，就老老实实把绝对值加上。

三、其他类型

${\color{Purple} (1-x-a)\frac{dy}{dx}=ay^{2}}$

分离变量得 $\frac{dy}{y^{2}}=\frac{a}{1-x-a}dx$

两端积分得 $-\frac{1}{y}=-aln|1-x-a|-c$

${\color{Purple} (\frac{1}{u}+u)dx=udx+xdu}$

分离变量得 $udu=\frac{dx}{x}$

两端积分得 $\frac{u^{2}}{2}=ln|x|+c$

${\color{Purple} \frac{du}{dx}-1=\frac{u}{4-3u}}$

分离变量得 $\frac{3u-4}{u-2}du=2dx$

两端积分得 $3u+2ln|u-2|=2x+c$

再观察以上三种类型发现分离变量并且两端积分后等式只有一端含有ln项，并且ln中的正负情况并不确定，这种情况下绝对值你就老老实实的放到结果中。

四、一个误区

譬如前边得到的 $|y|^{\sqrt{2}}=cx$ ，有些读者可能会想把等式两端同时平方得到 $(y^{2})^{\sqrt{2}}=C_{1}x^{2}$

这不也是去绝对值吗，用得着前边那么麻烦的搞一堆废话吗？

其实这种加平方的做法并不是我们上面讨论的内容，我们所讨论的是在积分过程中出现了绝对值要不要直接把绝对值直接去掉，而这种加平方的做法作用于任何绝对值都可以把绝对值去掉，所以希望读者能够做好区分。

总结

在可分离变量的微分方程中，没有无理常数因子时，积分中的绝对值可以偷偷懒不加

在一阶线性微分方程中，当P(x)没有无理常数因子，也没有偶数的分母时可以偷懒不加绝对值

其他高阶的微分方程最后要么是可以用带公式直接求得结果，没有那么烦琐；要么可以化为可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程，再用上述方法讨论绝对值问题

总之

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困惑很久的解微分方程时绝对值取舍问题（必看)

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