统计学中几种简单的检验方式
2.1、T检验
$$t = \frac{\overline{x}-μ}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
$$t = \frac{\overline{x}-\overline{y}}{^{S_{w}}\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t(m+n-2)$$
其中
$$S_{w} = \frac{1}{m+n+1}[(m-1)S_{1}^{2}+(n-1)S_2^2]$$
2.2、F检验
F检验又叫方差齐性检验，目的是判断两个样本的总体方差是否相等，计算双总体样本检验的前提条件。
2.3、卡方检验
卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
通过简单的统计我们得出喝牛奶组和不喝牛奶组的感冒率为30.94%和25.00%，两者的差别可能是抽样误差导致，也有可能是牛奶对感冒率真的有影响。
为了确定真实原因，我们先假设喝牛奶对感冒发病率是没有影响的，即喝牛奶喝感冒时独立无关的，所以我们可以得出感冒的发病率实际是（43+28）/（43+28+96+84）= 28.29%
| 感冒人数 | 未感冒人数 | 合计 | 感冒率 | |
| 喝牛奶组 | 43 | 96 | 139 | 30.94% |
| 不喝牛奶组 | 28 | 84 | 112 | 25.00% |
| 合计 | 71 | 180 | 251 |
28.29% |
所以，理论的四格表应该如下表所示：
| 感冒人数 | 未感冒人数 | 合计 | |
| 喝牛奶组 | =139*0.2829 | =139*(1-0.2829) | 139 |
| 不喝牛奶组 | =112*0.2829 | =112*(1-0.2829) | 112 |
即下表：
| 感冒人数 | 未感冒人数 | 合计 | |
| 喝牛奶组 | 39.3231 | 99.6769 | 139 |
| 不喝牛奶组 | 31.6848 | 80.3152 | 112 |
| 合计 | 71 | 180 | 251 |
卡方检验
卡方检验的计算公式为：
$$X^2 = \sum\frac{(A-T)^2}{T}$$
其中，A为实际值，T为理论值。
x2用于衡量实际值与理论值的差异程度（也就是卡方检验的核心思想），包含了以下两个信息：
1. 实际值与理论值偏差的绝对大小（由于平方的存在，差异是被放大的）
2. 差异程度与理论值的相对大小
根据卡方检验公式我们可以得出例1的卡方值为：
卡方 = (43 - 39.3231)平方 / 39.3231 + (28 - 31.6848)平方 / 31.6848 + (96 - 99.6769)平方 / 99.6769 + (84 - 80.3152)平方 / 80.3152 = 1.077
卡方分布的临界值：
上一步我们得到了卡方的值，但是如何通过卡方的值来判断喝牛奶和感冒是否真的是独立无关的？也就是说，怎么知道无关性假设是否可靠？
答案是，通过查询卡方分布的临界值表。
这里需要用到一个自由度的概念，自由度等于V = (行数 - 1) * (列数 - 1)，对四格表，自由度V = 1。
对V = 1，喝牛奶和感冒95%概率不相关的卡方分布的临界概率是：3.84。即如果卡方大于3.84，则认为喝牛奶和感冒有95%的概率不相关。
显然1.077<3.84，没有达到卡方分布的临界值，所以喝牛奶和感冒独立不相关的假设不成立。
3、自由度
定义：自由变动的样本观测值的数目
4、总结
本文介绍了零假设的概念；几种常用的检验方式，包括：T检验，F检验，卡方检验；自由度的概念，至于不甚清晰的地方以后再补充。
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