多项式定理【OI Pharos 6.2.2】

2024-05-04 23:46:06

多项式定理

1 内容

(x1+x2+⋯+xn)k=∑k!Πi=1nki!x1k1x2k2…xnkn(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^k = \sum\frac{k!}{\Pi_{i = 1}^{n}{k_i!}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n} (x1+x2+⋯+xn)k=∑Πi=1nki!k!x1k1x2k2…xnkn

其中，k=∑i=1nkik = \sum_{i = 1}^n k_ik=∑i=1nki

2 证明

从组合数学角度考虑，x1k1x2k2…xnknx_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_n^{k_n}x1k1x2k2…xnkn的系数相当于在k个式子中选k1个x1，k2个x2……kn个xnk_1个x_1，k_2个x_2\dots\dots k_n个x_nk1个x1，k2个x2……kn个xn的方案数，有系数ttt等于
t=Ckk1Ck−k1k2…Ck−k1−k2−⋯−kn−1knt = C_k^{k_1} C_{k - k_1}^{k_2}\dots C_{k - k_1 - k_2 - \dots - k_{n - 1}}^{k_n} t=Ckk1Ck−k1k2…Ck−k1−k2−⋯−kn−1kn
即就是
k!k1(k−k1)!(k−k1)!k2!(k−k1−k2)!…(k−k1−…−kn−1)!kn!0!=k!k1!k2!⋯kn!\frac{k!}{k_1(k−k_1)!} \frac{(k−k_1)!}{k_2!(k−k_1−k_2)!} \dots \frac{(k−k_1−\dots −k_{n−1})!}{k_n!0!}=\frac{k!}{k_1!k_2!⋯k_n!} k1(k−k1)!k!k2!(k−k1−k2)!(k−k1)!…kn!0!(k−k1−…−kn−1)!=k1!k2!⋯kn!k!

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