说明

本文并不是严格的证明，只是简单的用于理解什么时候用dxdxdx什么时候用dsdsds，所以采用的曲线比较特殊，为y=xy=xy=x并且在[0,1][0,1][0,1]区间上，实际对于复杂的曲线，取微元时Δy\Delta yΔy与Δx\Delta xΔx为线性关系，即Δy=αΔx\Delta y=\alpha \Delta xΔy=αΔx，在本文中Δy=Δx\Delta y=\Delta xΔy=Δx。
将区间划为nnn个小区间，对于区间[a,b][a,b][a,b]，每个区间Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n}Δx=nb−a，区间的左端点为a+in(b−a)a+\frac{i}{n}(b-a)a+ni(b−a)，右端点为a+i+1n(b−a)a+\frac{i+1}{n}(b-a)a+ni+1(b−a)，i的取值为{0,1,2,...,n−1}i的取值为\{0,1,2,...,n-1\}i的取值为{0,1,2,...,n−1}，而对于本例中，区间范围为[0,1][0,1][0,1]，每个区间Δx=1n\Delta x=\frac{1}{n}Δx=n1，区间的左端点为in\frac{i}{n}ni，右端点为i+1n\frac{i+1}{n}ni+1。

面积与弧长的情况

取一小段区间，Δx=1n\Delta x=\frac{1}{n}Δx=n1，如图所示，放大来看

面积

ΔA=f(in)⋅Δx+12⋅Δx⋅Δy=f(in)⋅1n+12⋅1n⋅1n\Delta A=f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x+\frac{1}{2}\cdot \Delta x\cdot \Delta y=f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n} ΔA=f(ni)⋅Δx+21⋅Δx⋅Δy=f(ni)⋅n1+21⋅n1⋅n1
A=lim⁡n→+∞(∑i=0n−1(f(in)⋅1n)+12⋅1n⋅1n⋅n)=lim⁡n→+∞(1n⋅∑i=0n−1f(in)+12⋅1n)=lim⁡n→+∞(1n⋅∑i=0n−1f(in))+lim⁡n→+∞12n\begin{aligned} A&=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \sum_{i=0}^{n-1}{\left( f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} \right)}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot n \right) \\ &=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}{f\left( \frac{i}{n} \right)}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n} \right) \\ &=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}{f\left( \frac{i}{n} \right)} \right) +\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{1}{2n} \end{aligned} A=n→+∞lim(i=0∑n−1(f(ni)⋅n1)+21⋅n1⋅n1⋅n)=n→+∞lim(n1⋅i=0∑n−1f(ni)+21⋅n1)=n→+∞lim(n1⋅i=0∑n−1f(ni))+n→+∞lim2n1

由于lim⁡n→+∞12n=0\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{1}{2n}=0n→+∞lim2n1=0
所以
A=lim⁡n→+∞(1n⋅∑i=0n−1f(in))A=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}{f\left( \frac{i}{n} \right)} \right) A=n→+∞lim(n1⋅i=0∑n−1f(ni))
由定积分的定义得
A=lim⁡n→+∞(1n⋅∑i=0n−1f(in))=∫01f(x)dxA=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}{f\left( \frac{i}{n} \right)} \right) =\int_0^1{f\left( x \right) dx} A=n→+∞lim(n1⋅i=0∑n−1f(ni))=∫01f(x)dx

弧长

ΔS=(Δx)2+(Δy)2\Delta S=\sqrt{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2} ΔS=(Δx)2+(Δy)2

S=lim⁡n→+∞(∑i=0n−1(Δx)2+(Δy)2)=lim⁡n→+∞(∑i=0n−11+(ΔyΔx)2⋅Δx)=∫011+[f′(x)]2dx=∫sds\begin{aligned} S&=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \sum_{i=0}^{n-1}{\sqrt{\left( \Delta x \right) ^2+\left( \Delta y \right) ^2}} \right)\\ &=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left( \sum_{i=0}^{n-1}{\sqrt{1+\left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right) ^2}}\cdot \Delta x \right)\\ &=\int_0^1{\sqrt{1+\left[ f'\left( x \right) \right] ^2}dx}\\ &=\int_s{ds}\\ \end{aligned} S=n→+∞lim(i=0∑n−1(Δx)2+(Δy)2)=n→+∞lim⎝⎛i=0∑n−11+(ΔxΔy)2⋅Δx⎠⎞=∫011+[f′(x)]2dx=∫sds

旋转体体积和表面积的情况

y=xy=xy=x在区间[0,1][0,1][0,1]上绕x轴旋转

则取一小段区间是一个圆台，图画的不是很好，但可以看出这个圆台的上底面半径为f(in)f\left( \frac{i}{n} \right)f(ni) ，下底面半径为f(in)+Δyf\left( \frac{i}{n} \right)+\Delta yf(ni)+Δy，高位Δx\Delta xΔx。

圆台侧面积和体积公式见
公式推导——圆台的侧面积和体积
本文直接给出

体积

ΔV=13πΔx[f2(in)+f(in)⋅(f(in)+Δy)+(f(in)+Δy)2]=13πΔx[f2(in)+f2(in)+f(in)⋅Δy+f2(in)+2⋅f(in)⋅Δy+(Δy)2]=13πΔx[3⋅f2(in)+3⋅f(in)⋅Δy+(Δy)2]=π⋅f2(in)⋅Δx+π⋅f(in)⋅Δx⋅Δy+13πΔx⋅(Δy)2\begin{aligned} \Delta V&=\frac{1}{3}\pi \Delta x\left[ f^2\left( \frac{i}{n} \right) +f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \left( f\left( \frac{i}{n} \right) +\Delta y \right) +\left( f\left( \frac{i}{n} \right) +\Delta y \right) ^2 \right] \\ &=\frac{1}{3}\pi \Delta x\left[ f^2\left( \frac{i}{n} \right) +f^2\left( \frac{i}{n} \right) +f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta y+f^2\left( \frac{i}{n} \right) +2\cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta y+\left( \Delta y \right) ^2 \right] \\ &=\frac{1}{3}\pi \Delta x\left[ 3\cdot f^2\left( \frac{i}{n} \right) +3\cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta y+\left( \Delta y \right) ^2 \right] \\ &=\pi \cdot f^2\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x+\pi \cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y+\frac{1}{3}\pi \Delta x\cdot \left( \Delta y \right) ^2 \end{aligned} ΔV=31πΔx[f2(ni)+f(ni)⋅(f(ni)+Δy)+(f(ni)+Δy)2]=31πΔx[f2(ni)+f2(ni)+f(ni)⋅Δy+f2(ni)+2⋅f(ni)⋅Δy+(Δy)2]=31πΔx[3⋅f2(ni)+3⋅f(ni)⋅Δy+(Δy)2]=π⋅f2(ni)⋅Δx+π⋅f(ni)⋅Δx⋅Δy+31πΔx⋅(Δy)2

V=lim⁡n→+∞[∑i=0n−1(π⋅f2(in)⋅Δx)+∑i=0n−1(π⋅f(in)⋅Δx⋅Δy)+∑i=0n−1(13πΔx⋅(Δy)2)]=lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅f2(in)⋅Δx)+lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅f(in)⋅Δx⋅Δy)+lim⁡n→+∞∑i=0n−1(13πΔx⋅(Δy)2)\begin{aligned} V&=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left[ \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f^2\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x \right)}+\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right)}+\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{1}{3}\pi \Delta x\cdot \left( \Delta y \right) ^2 \right)} \right] \\ &=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f^2\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x \right)}+\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right)}+\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{1}{3}\pi \Delta x\cdot \left( \Delta y \right) ^2 \right)} \end{aligned} V=n→+∞lim[i=0∑n−1(π⋅f2(ni)⋅Δx)+i=0∑n−1(π⋅f(ni)⋅Δx⋅Δy)+i=0∑n−1(31πΔx⋅(Δy)2)]=n→+∞limi=0∑n−1(π⋅f2(ni)⋅Δx)+n→+∞limi=0∑n−1(π⋅f(ni)⋅Δx⋅Δy)+n→+∞limi=0∑n−1(31πΔx⋅(Δy)2)

其中
∵lim⁡n→+∞∑i=0n−1∣(π⋅f(in)⋅Δx⋅Δy)∣≤lim⁡n→+∞∑i=0n−1∣(π⋅max⁡(f(x))⋅Δx⋅Δy)∣\because \underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left| \left( \pi \cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right) \right|}\leq \underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left| \left( \pi \cdot \max \left( f\left( x \right) \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right) \right|} ∵n→+∞limi=0∑n−1∣∣∣∣(π⋅f(ni)⋅Δx⋅Δy)∣∣∣∣≤n→+∞limi=0∑n−1∣(π⋅max(f(x))⋅Δx⋅Δy)∣
由于分母的数量级为n2，分子的数量级为n，所以当n→+∞时\text{由于分母的数量级为}n^2\text{，分子的数量级为}n\text{，所以当}n\rightarrow +\infty \text{时} 由于分母的数量级为n2，分子的数量级为n，所以当n→+∞时
lim⁡n→+∞∑i=0n−1∣(π⋅max⁡(f(x))⋅Δx⋅Δy)∣=0\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left| \left( \pi \cdot \max \left( f\left( x \right) \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right) \right|}=0 n→+∞limi=0∑n−1∣(π⋅max(f(x))⋅Δx⋅Δy)∣=0
∴lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅f(in)⋅Δx⋅Δy)=0\therefore \underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x\cdot \Delta y \right)}=0 ∴n→+∞limi=0∑n−1(π⋅f(ni)⋅Δx⋅Δy)=0
显然
lim⁡n→+∞∑i=0n−1(13πΔx⋅(Δy)2)=0\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{1}{3}\pi \Delta x\cdot \left( \Delta y \right) ^2 \right)}=0 n→+∞limi=0∑n−1(31πΔx⋅(Δy)2)=0
所以
V=lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅f2(in)⋅Δx)=∫01πx2dxV=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot f^2\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta x \right)}=\int_0^1{\pi x^2dx} V=n→+∞limi=0∑n−1(π⋅f2(ni)⋅Δx)=∫01πx2dx

表面积

ΔA=π(f(in)+f(in)+Δy)Δs=π(2f(in)+Δy)Δs\Delta A=\pi \left( f\left( \frac{i}{n} \right) +f\left( \frac{i}{n} \right) +\Delta y \right) \Delta s=\pi \left( 2f\left( \frac{i}{n} \right) +\Delta y \right) \Delta s ΔA=π(f(ni)+f(ni)+Δy)Δs=π(2f(ni)+Δy)Δs
A=lim⁡n→+∞[∑i=0n−1(π(2f(in)+Δy)Δs)]=lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅2f(in)⋅Δs)+lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅Δy⋅Δs)\begin{aligned} A&=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\left[ \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \left( 2f\left( \frac{i}{n} \right) +\Delta y \right) \Delta s \right)} \right] \\ &=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot 2f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta s \right)}+\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot \Delta y\cdot \Delta s \right)} \end{aligned} A=n→+∞lim[i=0∑n−1(π(2f(ni)+Δy)Δs)]=n→+∞limi=0∑n−1(π⋅2f(ni)⋅Δs)+n→+∞limi=0∑n−1(π⋅Δy⋅Δs)
其中
lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅Δy⋅Δs)=0\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot \Delta y\cdot \Delta s \right)}=0 n→+∞limi=0∑n−1(π⋅Δy⋅Δs)=0
则
A=lim⁡n→+∞∑i=0n−1(π⋅2f(in)⋅Δs)=∫s2πf(x)dsA=\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\sum_{i=0}^{n-1}{\left( \pi \cdot 2f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \Delta s \right)}=\int_s{2\pi f\left( x \right) ds} A=n→+∞limi=0∑n−1(π⋅2f(ni)⋅Δs)=∫s2πf(x)ds

总结

其实不管是求面积还是体积的时候不是想当然的不考虑那一小块（这是很多人误解的地方，从而导致分不清什么时候用dxdxdx，什么时候用dsdsds），而是在求定积分的时候（本质是求极限）那一部分趋于0，所以在实际计算的时候可以忽略趋于0的部分。

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面积与弧长的情况

面积

弧长

旋转体体积和表面积的情况

体积

表面积

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