KMP算法前后缀原理

要想把把KMP算法搞清楚，必须要先了解一个叫做BF的暴力破解算法。这个算法的思路相当简单，是在串区配中最容易想到的一个算法。其实就是把所有有可能的串挨个比较一遍，这样匹配的结果一定是正确的。

如上图所示，T是主串，P是模式串，i是主串T当前的位置，j是模式串P当前的位置，当i=4，j=4时发现T[i]!=P[j],BF算法会将i回溯为1，j回溯为0重新进行下一轮的对比。

下面我们来考虑一个问题，当i=4,j=4检测到字符不相等时，到底有没有必要把i回溯到1、j回溯到0？
把i回溯到1、j回溯到0实际上是为了比较T(1,8)和P是否相等。若能百分之百确定T(1,8)和P不相等，则把i回溯到1、j回溯到0则无意义。可以直接跳过这一轮检测，直接进入下一轮i回溯为2,j回溯为0的检测。
因为T(1,3)是T(1,8)开头的3个字符，P(0,2)是P开头的3个字符。所以：
若T(1,3)不等于P(0,2)，则T(1,8)则必不等于P，所以直接跳过i回溯到1、j回溯到0这一步。
若T(1,3)等于P(0,2)，则T(1,8)有可能等于P，这一步不能跳过，还得继续比较。又因为前三个字符已经确定是相等的，所以不必从i=1,j=0开始比较，而是可以直接从i=4,j=3开始比较。
所以整个问题的关键就在于T(1,3)到底和P(0,2)相不相等。
又因为T(1,3)等于P(1,3),所以这个问题可以可以转化为比较P(1,3)和P(0,2)相不相等。P(1,3)其实就是P(0,3)长度为3的后缀，P(0,2)其实就是P(0,3)的长度为3的前缀。所以我们有如下结论：
当i=4,j=4检测到字符不相等时,若P长度为3的前缀和后缀相等，则i保持不变，j回溯至3即可。若不等，则整个串也必不匹配，可以跳过此次回溯。
同理我们可以得出：
当i=4,j=4检测到字符不相等时,若P长度为2的前缀和后缀相等，则i保持不变，j回溯至2即可。若不等，则整个串也必不匹配，可以跳过此次回溯。
当i=4,j=4检测到字符不相等时,若P长度为1的前缀和后缀相等，则i保持不变，j回溯至1即可。若不等，则整个串也必不匹配，可以跳过此次回溯。
当i=4,j=4检测到字符不相等时,若P不存在任何长度相等的前缀和后缀相等，则i保持不变，j回溯至0即可。

下面我们不举特殊的例子，直接推导：
假设T的长度是m,P的长度是n
当匹配到第一个不相等的字符时，根据暴力破解法，实际上进行了如下操作：

int k = j - 1;
while (k > 0) {把T从i - k开头的位置重新和P比较注意此时P(j - k, j - 1)等于T(i - k, i - 1)必相等。若此时P(0, j - 1)的长度为k的前缀和后缀相等,即P(0,k - 1)和P(j - k, j - 1)相等，则P(0, k - 1)等于T(i - k, i - 1),这就意味着T(i - k, i - k + n)和P前k个字符是相等的，所以不需要再比较了，我们可以直接比较T(i - k + k, i - k + k + n)和P(k, n - k + 1)即可，也就是比较T(i，i+n)和P(k,n-k+1)。所以i保持不变，j回溯至k。若此时P(0, j - 1)的长度为k的前缀和后缀相等,即P(0,k - 1)和P(j - k, j - 1)不相等，则P(0, k - 1)不等于T(i - k, i - 1)，这就意味着T(i - k, i - k + n)和P前k个字符不相等。所以将i回溯至i-k重新比较一遍无意义。k--;
}

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