strongbox-数论

题目链接：strongbox(英文版）

结论1：如果x是密码，则gcd(x,n)是密码

结论2：如果x，y是密码，那么gcd（x，y）是密码，反之则不是

约束条件：

1.密码集合A中存在很多，所以尽量小

2.对于任何1<=j<k,不能整除a[j](否则a[j]也是密码）

3.根据结论1，集合中的两个数为a[k],gcd(a[k],n),存在a[k]|gcd(a[k],n)。

思路：

如果x为密码，则密码为x,2x,3x,4x,......，所以x尽量小，n/x即为答案

同时a[k]的因子集合包含密码集合，里面也含有其它不是密码的数

其中gcd（a[i],a[k])不属于，被gcd（a[i],a[k])整除的同样不是，剩下的为密码

寻找里面最小的密码，得到答案

实现方法

计算a[k]==gcd(a[k],n)，枚举法寻找a[k]的因子，存在数组q里面

去除gcd（a[i],a[k])的因数（包含本身和它的因子）

寻找最小密码x，da答案为n/x

//代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,tot;
int k,ans;
ll a[250005],q[250005],f[250005];
ll gcd(ll a,ll b)
{return b? gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{//freopen("strong.in","r",stdin);//freopen("strong.out","w",stdout);scanf("%lld%d",&n,&k);for(ll i=1; i<=k; ++i)scanf("%lld",&a[i]);a[k]=gcd(a[k],n);for(int i=1; i<k; ++i)a[i]=gcd(a[i],a[k]);//计算寻找因子for(ll i=1; i*i<=a[k]; ++i)if(a[k]%i==0){q[++tot]=i;if(i*i!=a[k])q[++tot]=a[k]/i;}sort(q+1,q+tot+1);//去除gcd(a[k],a[i])的因数for(int i=1; i<k; ++i)f[lower_bound(q+1,q+tot+1,a[i])-q]=1;for(ll int i=1; i<=tot; ++i)if(f[i]){for(int j=1; j<i; ++j)if(q[i]%q[j]==0)f[j]=1;}//寻找最小密码for(ans=1; f[ans]; ++ans);printf("%lld",n/q[ans]);return 0;
}

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