GDOI 2018 Day1 小学生图论题

小学生图论题

Description

有一个点数为nnn的竞赛图，每条边的的方向等概率随机。
现在给出m" role="presentation" style="position: relative;">mmm条有向链，表示每条链上的边的有向边的方向都已被钦定。
保证一个点不会出现在两条给出的链中。
求该竞赛图强连通分量的期望个数。（答案模998244353998244353998244353）

Data Constrains

n,m≤105n,m≤105n,m\leq 10^5

Solution

首先竞赛图缩完强联通分量后的是一个拓扑序唯一的，类似一条链的拓扑图，可以把这条链上的每一条边看成一个分隔，分成了前后两个点集SSS,T" role="presentation" style="position: relative;">TTT，其中SSS和T" role="presentation" style="position: relative;">TTT之间的连边的方向都是由SSS连向T" role="presentation" style="position: relative;">TTT。相反的，如果在一个竞赛图中，点可以分成两个集合SSS,T" role="presentation" style="position: relative;">TTT，其中SSS和T" role="presentation" style="position: relative;">TTT之间的连边的方向都是由SSS连向T" role="presentation" style="position: relative;">TTT，那这在竞赛图缩完点后必定对应一个分隔。
可以看出强联通分量的数量即为分隔数+111,所以我们只需求出期望的分隔数即可。

于是我们可以将答案写成1+∑S,TΠx∈S y∈TPx,y" role="presentation" style="position: relative;">1+∑S,TΠx∈S y∈TPx,y1+∑S,TΠx∈S y∈TPx,y1+\sum_{S,T}\Pi_{x\in S\ y\in T}P_{x,y}其中Px,yPx,yP_{x,y}是xxx指向y" role="presentation" style="position: relative;">yyy的概率（由题意可知Px,y∈{0,1,12}Px,y∈{0,1,12}P_{x,y}\in \{0,1,\frac{1}{2}\}）。

当mmm=0" role="presentation" style="position: relative;">000时，易得出Ans=1+∑n−1i=1Cin12i(n−i)Ans=1+∑i=1n−1Cni12i(n−i)Ans=1+\sum_{i=1}^{n-1}C_{n}^i{1\over 2}^{i(n-i)}。

那当mmm不等于0" role="presentation" style="position: relative;">000时，对于每一条给出的链，不难发现，这条链最终能分成前后两段，前一段属于SSS集，后一段属于T" role="presentation" style="position: relative;">TTT集，同时我们能够发现如果一条链上的所有边并非同时属于SSS集或同时属于T" role="presentation" style="position: relative;">TTT集，那么有一条边的方向就相当于钦定了。
我们考虑多项式，一条长度为kkk的链对应的多项式G(x)=1+2x+2x2+....xk−1+xk" role="presentation" style="position: relative;">G(x)=1+2x+2x2+....xk−1+xkG(x)=1+2x+2x2+....xk−1+xkG(x)=1+2x+2x^2+....x^{k-1}+x^k，特殊的，一个独立的点我们看成一条长度为111的链。
令F(x)" role="presentation" style="position: relative;">F(x)F(x)F(x)为所有链对应的G(x)G(x)G(x)的积，不难发现答案为Ans=1+∑n−1i=1(12)i(n−i)[xi]F(x)Ans=1+∑i=1n−1(12)i(n−i)[xi]F(x)Ans=1+\sum_{i=1}^{n-1}(\frac{1}{2})^{i(n-i)}[x^i]F(x)
求F(x)F(x)F(x)用分治NTTNTTNTT，可以证明时间复杂度为O(n log2 n)O(nlog2n)O(n\ log^2\ n)。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=24e4,M=2e7,ZD=262144,mo=998244353;ll be[N],en[N],a[N],b[N];
ll f[M],jc[N],nn[N],w[N<<1];
int bits[ZD<<1],ss,mm;
int len[N],x,oo,n,m;inline int read()
{int o=0; char ch=' ';for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())o=o*10+(ch^48);return o;
}inline ll ksm(ll o,ll t)
{ll y=1;for(;t;t>>=1,o=o*o%mo)if(t&1)y=y*o%mo;return y;
}inline void prepare()
{w[0]=1; w[1]=ksm(3,(mo-1)/ZD);fo(i,2,ZD)w[i]=w[i-1]*w[1]%mo;
}inline ll mo1(ll o)
{return o>=mo?o-mo:o;}
inline ll mo2(ll o)
{return o<0?o+mo:o;}void dft(ll *a,int sig)
{fo(i,1,mm-2)if(i<bits[i])swap(a[i],a[bits[i]]);for(int m=2,half=1,D=ZD>>1;m<=mm;m<<=1,half<<=1,D>>=1)fo(i,0,half-1){register ll u=sig==1?w[i*D]:w[ZD-i*D],v;for(int j=i;j<mm;j+=m){v=a[j+half]*u%mo;a[j+half]=mo2(a[j]-v);a[j]=mo1(a[j]+v);}}if(sig==-1){ll ny=ksm(mm,mo-2);fo(i,0,mm-1)a[i]=a[i]*ny%mo;}
}void divi(int l,int r)
{if(l==r){be[l]=++oo;oo=en[l]=be[l]+len[l];fo(i,be[l],en[l])f[i]=2;f[be[l]]=f[en[l]]=1;return;}int mid=l+r>>1;divi(l,mid); divi(mid+1,r);int le=en[l]-be[l]+1+en[mid+1]-be[mid+1];ss=0; mm=1;while(mm<=le)mm<<=1,++ss; bits[0]=0;fo(i,1,mm-1)bits[i]=(bits[i>>1]>>1)|((i&1)<<ss-1);fo(i,0,mm-1)a[i]=b[i]=0;fo(i,be[l],en[l])a[i-be[l]]=f[i];fo(i,be[mid+1],en[mid+1])b[i-be[mid+1]]=f[i];dft(a,1); dft(b,1);fo(i,0,mm-1)a[i]=a[i]*b[i]%mo;dft(a,-1);be[l]=++oo; oo=en[l]=be[l]+le-1;fo(i,be[l],en[l])f[i]=a[i-be[l]];
}int main()
{cin>>n>>m;int zh=0;fo(i,1,m){len[i]=read(); zh=zh+len[i];fo(l,1,len[i])x=read();}fo(i,m+1,m+n-zh)len[i]=1;m+=n-zh; prepare();divi(1,m);ll ans=1;fo(i,1,n-1)ans=(ans+f[i+be[1]]*ksm((mo+1)/2,(ll)i*(n-i)))%mo;cout<<ans;
}