*抽象对象的类解释 数解释和真值解释 布尔逻辑之五

布尔在他的布尔逻辑之中，给出了全与无两个类别，但其后，他又相继给出了这对同样观念的另外两种解释。这个全与无究竟是个什么东西，清楚明白地给出描述不是一件容易的事情，但在这个基础上的三种解释，却似乎比这对抽象对象更为清晰一些，虽然那个真值解释只是间接的，但却无意中为现代逻辑的诞生准备了条件。
观念决定一切照片

一、抽象对象的类别classes解释

人类心灵所构建的东西，尤其是那些超越实在之外的神奇观念，你在心灵中可以查知到它作为心灵产物的存在。但你的感觉，却全然体验不到它们这些神物实际上的存在。心智所统领的五官，似乎还没有找到办法来验证这些神物的实存。它们全都看不见，也摸不着，但却总可以借助各种符号形式，抽象的、或者具像的、或者象征的符号形式，成为人类知识中最为重要的部分。范畴、类、还有数字等等抽象对象，就是这样的东西。
一幅抽象画任你想象

布尔为逻辑代数所构建的，也是这样一类带有神奇意味的东西。这些东西因为带有某种神秘的光环，常常可以这样解释，也可以那样解释。布尔逻辑中的那对初始范畴，我们就至少可以给它三类解释。这些解释的背后还是带有神奇，但是这样解释的结果，却让我们的逻辑和算术，从古典跨入到了现当代。
在上一节，我们指出，布尔在它的逻辑系统中创建出两个类，一个是全类universe，一个是无类nothing。大千世界最大的类，不能超越的类，那就是全类。而大千世界最小的类，不可能比之再小的类，那就是无类，空无所有的一个类。
对这两个创建的类别，做如此之理解，这可以看作是对于“全无”两类的类解释。把“全与无”这两个对象看作是两个类，最大的全类和最小的无类，布尔的系统继续展开，这两个类别开始了向自然数的延伸。
这个延伸好像十分自然，包罗万象的“全”，不就具有一个整体的涵义么？1正好可以看作是这样的一个整体。而0，不就是空无所有的涵义么，这正好可以看作是自然数中的零。我们在《思维法则研究》的第三章，法则的派生（derivation of laws）那一章中，立刻就看到了这样的延伸，布尔把数字0和1看作为全与无的意义，或者说符号的逻辑值。因为有了这个想法，现代逻辑大概就有了新的起点，这还超越了莱布尼兹那个时代，他关于符号逻辑的一些梦想。

二、抽象对象的数字number解释

布尔先描述符号0，他把0看作是如同其在代数中那样的东西，满足以下形式法则，
0y=0，或者0y=0 （1）
在这个公式（1）中，无论数字变元y代表什么，0y就等同于被0所代表的类，这个类就是“无”（nothing）。因为布尔对于0和1的描述几乎完全对称，以下照录布尔对于1的描述，省略对于0的描述。因为对于0的描述，完全是同样结构的对称性描述。我们知道了1的涵义，自然就可以派生出对于0的描述。
布尔说：
符号1满足数字系统中的以下法则，那就是
1y=y，或者1y=y，（2）
无论（2）中的y可能表达什么数字。上述形式等同的存在，被假设为在本书的系统中同样有效，在本书的系统中，1和y表达的是类（classes），似乎是，符号1必须表达这样的一个类：在任意给定的类y中发现的所有那些个体，也是1y这个符号中的所有个体。也就是说，类1*y这个符号所表达的东西，它是y这个类和用1来表示的那个类共有的。这里由此就产生这样的一种考虑，用1来表达的类就必须是“全”类（universe）。因此，这是唯一的一个类，在这个类中，所有的个体都在其中，这里的个体就是指那些在任意类中存在的东西。这样，对于符号0和1在本书系统中的各自解释就是“无”和“全”（布尔《思维法则研究》英文版第三章第47-48页）

把“全与无”归于自然数的“1与0”，一下子就把自然数的算术运算法则，归结到一个新的领域。一个关于“类”演算的逻辑系统，借助于数字1和0这两个逻辑值，就把原先的算术运算六法则全都借用过来。我们在此基础上，再加上一个指数法则（index law），原先仅在数学领域运用的算术就跨入到一个新境界，一个可以实现类演算的世界。
于是，我们算术原先运算的数字对象，因为我们仅仅只借用其中的1和0，数字运算的范围小了。但精简了数字的范围，却把我们的运算对象扩充到更为广阔的领域，原先语言中的语词或者概念等等不属于数学运算的对象，它们原先都不在算术运算的范围之内。如今，这个界限给抹掉了，算术运算也可以用到数字之外的其它地方，特别是语言或者逻辑之中了，这真是很有点奇妙。
这个跨界过程还在继续，19世纪布尔所在的那个年代，是人类智慧不断突破思维界限的一个时代。布尔类演算的类范围，可以说恰好对应自然语言的语词，更对应康托集合论中的集合。但布尔很快就发现，这个类和数字的解释还可能延伸。我们对这个神秘对象的解释，不仅仅是数字，也不仅仅是自然语言当中的语词，还可能是对自然语言中的语句或者命题的真值判定。

三、抽象对象的真值解释

布尔逻辑中的演算对象是类，类与类如果以主谓组合的形式来构成语言单位，这种语言单位就是语句，逻辑上称为命题。布尔认为，一个命题就摆在那里，如果你对这个命题未作判定，这时候，这个命题对于你而言就只是一级命题（primary proposition）。如果你对这个命题做出了判断，断定了这个命题是真的还是假的？这个带有真假判定的命题则不是一级，而是二级命题（secondary proposition）。布尔发现，那个可做类解释和数字解释的东西，它还有新用场，它可以用来表达二级命题。

为了表达二级命题“命题X是真的。”
我们这里将其表达为，在和我们的话语时间相关的限度之内，这个命题X是真的。现在这个在某个时间限度之内的命题X为真，我们用小写的x来表示，我们说出这个命题的时间跨度用1来表达。由此我们就有
x = 1
如该表达式所要求的。
而为了表达二级命题“命题X是假的。”
我们这里将其表达为，在和我们的话语时间相关的限度之内，这个命题X是假的。或者说，没有任何一个时间片断中命题X为真，现在我们用小写的x来表示这个无时为真的X，我们说出这个命题的时间跨度用1来表达。由此我们就有
x = 0
（见《思维法则研究》第11章第169页）

布尔在这里并没有直接把这个神奇对象归之于真值，他把1和0解释为时间，但显然已经非常接近真值这种解释，这就为现代逻辑的诞生奠定了基础。
后来，美国的C.I.刘易斯在他1918年的《符号逻辑概览》一书中认为，把布尔逻辑说成所谓的“经典”，好像不大合适，因为它还不够古老。但刘易斯同时也认为，布尔奠定了逻辑代数的基础是毫无疑问的。而在《逻辑学的发展》一书中，著者高度赞扬布尔对于命题真值的那个解释，该解释距离真值表的解释方法仅只有一步之遥。而在一本通俗的《极简算法史》中，布尔则是古代逻辑和古代数学这两条知识之河在现代的交汇点，布尔成了交汇点的起端。
数学和逻辑之河流照片

布尔奠定的基本框架，后来被美国的皮尔斯，英国的耶方斯从两个方向做了改进。进一步的贡献则是另外一个德国人做的，德国数学家施罗德（Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schroder）（1842-1902）德国巴登人，他的逻辑代数论完美概括了布尔的工作。据称，今天的所谓数理逻辑，就是由施罗德最先命名的。所以，CI刘易斯的《符号逻辑概览》，把这个经典逻辑代数，不只是称为布尔逻辑代数，而是称作“布尔-施罗德逻辑代数“。布尔逻辑的最后一篇，将简要说明这个逻辑的概况。
施罗德照片

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