HDU6057 Kanade‘s convolution

HDU6057 Kanade’s convolution

题目大意

给你两个长度为 2 n − 1 2^n-1 2n−1的数组 A A A和 B B B，计算长度为 2 n − 1 2^n-1 2n−1的数组 C C C

C [ k ] = ∑ i a n d j = k A [ i x o r j ] × B [ i o r j ] C[k]=\sum\limits_{i \ and \ j =k}A[i \ xor \ j]\times B[i \ or \ j] C[k]=i and j=k∑A[i xor j]×B[i or j]

你需要输出 ∑ i = 0 2 m − 1 C [ i ] × 152 6 i \sum\limits_{i=0}^{2^m-1}C[i]\times 1526^i i=0∑2m−1C[i]×1526i对 998244353 998244353 998244353取模后的值。

1 ≤ m ≤ 19 , 0 ≤ A [ i ] , B [ i ] < 998244353 1\leq m\leq 19,0\leq A[i],B[i]<998244353 1≤m≤19,0≤A[i],B[i]<998244353

题解

前置知识：快速沃尔什变换（ F W T FWT FWT）

令 x = i ⊕ j , y = i ∣ j x=i\oplus j,y=i|j x=i⊕j,y=i∣j，因为 ( i ∣ j ) − ( i & j ) = i ⊕ j (i|j)-(i\& j)=i\oplus j (i∣j)−(i&j)=i⊕j，所以 i & j = ( i ∣ j ) − ( i ⊕ j ) i\&j=(i|j)-(i\oplus j) i&j=(i∣j)−(i⊕j)，则

C k = ∑ y − x = k , x & k = 0 2 d x × A x × B y C_k=\sum\limits_{y-x=k,x\& k=0}2^{d_x}\times A_x\times B_y Ck=y−x=k,x&k=0∑2dx×Ax×By

其中 d i d_i di表示 i i i的二进制位中为 1 1 1的位数。

因为对于一对数对 ( x , y ) (x,y) (x,y)， x x x的每一个为 1 1 1的位， i , j i,j i,j都有两种选法（ i i i这一位为 1 1 1且 j j j这一位为 0 0 0、 i i i这一位为 0 0 0且 j j j这一位为 1 1 1）使 x = i ⊕ j , y = i ∣ j x=i\oplus j,y=i|j x=i⊕j,y=i∣j。所以有 2 d x 2^{d_x} 2dx对 ( i , j ) (i,j) (i,j)满足上述条件，要乘上 2 d x 2^{d_x} 2dx。

因为 x = i ⊕ j , y = i ∣ j x=i\oplus j,y=i|j x=i⊕j,y=i∣j，所以 x & y = y x\&y=y x&y=y，可将 y − x = k y-x=k y−x=k换成 y ⊕ x = k y\oplus x=k y⊕x=k。 x & k = 0 x\& k=0 x&k=0也可表示为 d x + d k = d y d_x+d_k=d_y dx+dk=dy。再令 A i = A i × 2 d i A_i=A_i\times 2^{d_i} Ai=Ai×2di，则

C k = ∑ y ⊕ x = k , d x + d k = d y A x × B y C_k=\sum\limits_{y\oplus x=k,d_x+d_k=d_y}A_x\times B_y Ck=y⊕x=k,dx+dk=dy∑Ax×By

多项式 V ⁣ A i V\!A_i VAi表示二进制位为 1 1 1的个数为 i i i的 A A A值，多项式 V ⁣ B i V\!B_i VBi表示二进制位为 1 1 1的个数为 i i i的 B B B值，二进制位为 1 1 1的个数不等于 i i i的数在 V ⁣ A i , V ⁣ B i V\!A_i,V\!B_i VAi,VBi中值为 0 0 0。

对于每一个 i i i，对 V ⁣ A i V\!A_i VAi和 V ⁣ B i V\!B_i VBi做一次异或卷积的 F W T FWT FWT。令 V k = ∑ j = 0 i ( V ⁣ A j ) k × ( V ⁣ B i − j ) k V_k=\sum\limits_{j=0}^i(V\!A_j)_k\times (V\!B_{i-j})_k Vk=j=0∑i(VAj)k×(VBi−j)k，将 V k V_k Vk逆变换回来。若 k k k中二进制位为 1 1 1的个数为 i i i，则 C k = V k C_k=V_k Ck=Vk。

最后，对于每个 C i C_i Ci都乘上 152 6 i 1526^i 1526i即可。

时间复杂度为 O ( n log ⁡ 2 n ) O(n\log^2 n) O(nlog2n)。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,cnt[1<<20];
long long x,ans=0,now=1,ta[22][1<<20],tb[22][1<<20],c[1<<20],v[1<<20];
const int mod=998244353,ny2=499122177;
void fwt(long long *w,int fl){for(int s=2;s<=1<<n;s<<=1){int mid=s>>1;for(int v=0;v<1<<n;v+=s){for(int i=0;i<mid;i++){int t1=w[v+i],t2=w[v+mid+i];w[v+i]=(t1+t2)%mod;w[v+mid+i]=(t1-t2+mod)%mod;if(fl==-1){w[v+i]=1ll*w[v+i]*ny2%mod;w[v+mid+i]=1ll*w[v+mid+i]*ny2%mod;}}}}
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<1<<n;i++) cnt[i]=cnt[i-(i&(-i))]+1;for(int i=0;i<1<<n;i++){scanf("%lld",&x);x=x*(1ll<<cnt[i])%mod;ta[cnt[i]][i]=x;}for(int i=0;i<1<<n;i++){scanf("%lld",&x);tb[cnt[i]][i]=x;}for(int i=0;i<=n;i++){fwt(ta[i],1);fwt(tb[i],1);}for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=0;i+j<=n;j++){for(int k=0;k<1<<n;k++){c[k]=(c[k]+1ll*ta[j][k]*tb[i+j][k]%mod)%mod;}}fwt(c,-1);for(int j=0;j<1<<n;j++){if(cnt[j]==i) v[j]=c[j];c[j]=0;}}for(int i=0;i<1<<n;i++){ans=(ans+1ll*v[i]*now%mod)%mod;now=now*1526ll%mod;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}