多元线性方程公式

定义多元线性方程的损失函数如下：
J(θ)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2(1)J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)})^2~~~~~~~~~~~~(1) J(θ)=2m1i=1∑m(y^(i)−y(i))2 (1)

其中，y^(i)\hat{y}^{(i)}y^(i) 为：
y^(i)=θ0+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i)(2)\hat{y}^{(i)} = \theta_0 + \theta_1 X_1^{(i)} + \theta_2 X_2^{(i)} + \cdots + \theta_n X_n^{(i)}~~~~~~~~~~(2) y^(i)=θ0+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i) (2)

其中，mmm 为样本个数，nnn 为特征数量

定义向量：
θ=(θ0,θ1,⋯,θn)TX(i)=(X0(i),X1(i),X2(i),⋯,Xn(i))T，其中i=(1,2,⋯,m)，X0(i)≡1Xj=(Xj(1),Xj(2),⋯,Xj(m))T，其中j=(0,1,2,⋯,n)y=(y(1),y(2),⋯,y(m))\begin{aligned} \theta &=(\theta_0,\theta_1, \cdots , \theta_n)^T \\\\ X^{(i)} &= (X_0^{(i)}, X_1^{(i)},X_2^{(i)}, \cdots, X_n^{(i)})^T~~~，其中i=(1,2,\cdots, m)，X_0^{(i)}\equiv1 \\\\ X_j &= (X_j^{(1)}, X_j^{(2)}, \cdots, X_j^{(m)})^T~~~，其中j = (0, 1,2,\cdots, n) \\\\ y &= (y^{(1)}, y^{(2)}, \cdots, y^{(m)}) \end{aligned} θX(i)Xjy=(θ0,θ1,⋯,θn)T=(X0(i),X1(i),X2(i),⋯,Xn(i))T ，其中i=(1,2,⋯,m)，X0(i)≡1=(Xj(1),Xj(2),⋯,Xj(m))T ，其中j=(0,1,2,⋯,n)=(y(1),y(2),⋯,y(m))

定义矩阵：

X=(X(1),X(2),⋯,X(m))T=(X0,X1,X2,⋯,Xn)=(X0(1)X1(1)X2(1)⋯Xn(1)X0(2)X1(2)X2(2)⋯Xn(2)⋯⋯X0(n)X1(m)X2(m)⋯Xn(m))m×(n+1)\begin{aligned} X = (X^{(1)}, X^{(2)}, \cdots, X^{(m)})^T = (X_0, X_1, X_2, \cdots, X_n) = \begin{pmatrix} X_0^{(1)} & X_1^{(1)} & X_2^{(1)} & \cdots X_n^{(1)} \\\\ X_0^{(2)} & X_1^{(2)} & X_2^{(2)} & \cdots X_n^{(2)} \\\\ \cdots & & & \cdots \\\\ X_0^{(n)} & X_1^{(m)} & X_2^{(m)} & \cdots X_n^{(m)} \\ \end{pmatrix}_{m \times (n+1)} \end{aligned} X=(X(1),X(2),⋯,X(m))T=(X0,X1,X2,⋯,Xn)=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛X0(1)X0(2)⋯X0(n)X1(1)X1(2)X1(m)X2(1)X2(2)X2(m)⋯Xn(1)⋯Xn(2)⋯⋯Xn(m)⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞m×(n+1)

当 θ\thetaθ 取下值时，损失函数最小：
θ=(XTX)−1XTy\theta = (X^T X)^{-1} X^T y θ=(XTX)−1XTy

公式推导

温馨提示：公式推导过程不难，但很绕，请耐心…

将(2)式代入(1)式得：

J(θ)=12m∑i=1m(θ0+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i)−y(i))2=12m∑i=1m(θ0X0(i)+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i)−y(i))2（补个X0(i)）=12m[(θ0X0(1)+θ1X1(1)+θ2X2(1)+⋯+θnXn(1)−y(1))2+(θ0X0(2)+θ1X1(2)+θ2X2(2)+⋯+θnXn(2)−y(2))2+⋯+(θ0X0(m)+θ1X1(2)+θ2X2(m)+⋯+θnXn(m)−y(m))2]\begin{aligned} J(\theta) & = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m (\theta_0 + \theta_1 X_1^{(i)} + \theta_2 X_2^{(i)} + \cdots + \theta_n X_n^{(i)} - y^{(i)})^2 \\\\ & = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m (\theta_0X_0^{(i)} + \theta_1 X_1^{(i)} + \theta_2 X_2^{(i)} + \cdots + \theta_n X_n^{(i)} - y^{(i)})^2 ~~~（补个X_0^{(i)}）\\\\ &= \frac{1}{2m}[ (\theta_0X_0^{(1)} + \theta_1X_1^{(1)} + \theta_2X_2^{(1)} + \cdots + \theta_nX_n^{(1)} - y^{(1)})^2 \\\\ &~~~~~~~~+ (\theta_0X_0^{(2)} + \theta_1X_1^{(2)}+ \theta_2X_2^{(2)} + \cdots + \theta_nX_n^{(2)}- y^{(2)})^2 \\\\ &~~~~~~~~+ \cdots \\\\ &~~~~~~~~+ (\theta_0X_0^{(m)} + \theta_1X_1^{(2)}+ \theta_2X_2^{(m)} + \cdots + \theta_nX_n^{(m)}- y^{(m)})^2 ] \end{aligned} J(θ)=2m1i=1∑m(θ0+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i)−y(i))2=2m1i=1∑m(θ0X0(i)+θ1X1(i)+θ2X2(i)+⋯+θnXn(i)−y(i))2 （补个X0(i)）=2m1[(θ0X0(1)+θ1X1(1)+θ2X2(1)+⋯+θnXn(1)−y(1))2 +(θ0X0(2)+θ1X1(2)+θ2X2(2)+⋯+θnXn(2)−y(2))2 +⋯ +(θ0X0(m)+θ1X1(2)+θ2X2(m)+⋯+θnXn(m)−y(m))2]

现在对 θ\thetaθ 求偏导，下面只对 θ1\theta_1θ1 求偏导，其他的依次类推：

∂∂θ1J(θ)=1m[X1(1)(θ0X0(1)+θ1X1(1)+θ2X2(1)+⋯+θnXn(1)−y(1))+X1(2)(θ0X0(2)+θ1X1(2)+θ2X2(2)+⋯+θnXn(2)−y(2))+⋯+X1(m)(θ0X0(m)+θ1X1(2)+θ2X2(m)+⋯+θnXn(m)−y(m))]=1m[(θ0X0(1)X1(1)+θ1X1(1)X1(1)+θ2X2(1)X1(1)+⋯+θnXn(1)X1(1)−y(1)X1(1))+(θ0X0(2)X1(2)+θ1X1(2)X1(2)+θ2X2(2)X1(2)+⋯+θnXn(2)X1(2)−y(2)X1(2))+⋯+(θ0X0(m)X1(m)+θ1X1(2)X1(m)+θ2X2(m)X1(m)+⋯+θnXn(m)−y(m)X1(m))]（把X1(i)乘进去）=1m[(X0(1)X1(1)+X0(2)X1(2)+⋯+X0(m)X1(m))⋅θ0+(X1(1)X1(1)+X1(2)X1(2)+⋯+X1(m)X1(m))⋅θ1+(X2(1)X1(1)+X2(2)X1(2)+⋯+X2(m)X1(m))⋅θ2+⋯+(Xn(1)X1(1)+Xn(2)X1(2)+⋯+Xn(m)X1(m))⋅θn−(y(1)X1(1)+y(2)X1(2))+⋯+y(m)X1(m)]（将θ提出来）=1m[θ0⋅∑i=1mX0(i)X1(i)+θ1⋅∑i=1mX1(i)X1(i)+θ2⋅∑i=1mX2(i)X1(i)+⋯+θn⋅∑i=1mXn(i)X1(i)−∑i=1my(i)X1(i)]\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta) & = \frac{1}{m}[ X_1^{(1)} (\theta_0X_0^{(1)} + \theta_1X_1^{(1)} + \theta_2X_2^{(1)} + \cdots + \theta_nX_n^{(1)} - y^{(1)}) \\\\ &~~~~~~ + X_1^{(2)}(\theta_0X_0^{(2)} + \theta_1X_1^{(2)}+ \theta_2X_2^{(2)} + \cdots + \theta_nX_n^{(2)}- y^{(2)}) \\\\ &~~~~~~+ \cdots \\\\ &~~~~~~+ X_1^{(m)}(\theta_0X_0^{(m)} + \theta_1X_1^{(2)}+ \theta_2X_2^{(m)} + \cdots + \theta_nX_n^{(m)}- y^{(m)}) ] \\\\\\ & = \frac{1}{m}[(\theta_0X_0^{(1)}X_1^{(1)} + \theta_1X_1^{(1)}X_1^{(1)} + \theta_2X_2^{(1)}X_1^{(1)} + \cdots + \theta_nX_n^{(1)}X_1^{(1)} - y^{(1)}X_1^{(1)}) \\\\ &~~~~~~ + (\theta_0X_0^{(2)}X_1^{(2)} + \theta_1X_1^{(2)}X_1^{(2)}+ \theta_2X_2^{(2)}X_1^{(2)} + \cdots + \theta_nX_n^{(2)}X_1^{(2)}- y^{(2)}X_1^{(2)}) \\\\ &~~~~~~+ \cdots \\\\ &~~~~~~+ (\theta_0X_0^{(m)}X_1^{(m)} + \theta_1X_1^{(2)}X_1^{(m)}+ \theta_2X_2^{(m)}X_1^{(m)} + \cdots + \theta_nX_n^{(m)}- y^{(m)}X_1^{(m)}) ] ~~~~~（把 X_1^{(i)} 乘进去） \\\\\\ & = \frac{1}{m} [ (X_0^{(1)}X_1^{(1)} + X_0^{(2)}X_1^{(2)} + \cdots + X_0^{(m)}X_1^{(m)}) \cdot \theta_0 \\\\ & ~~~~~~+(X_1^{(1)}X_1^{(1)} + X_1^{(2)}X_1^{(2)} + \cdots + X_1^{(m)}X_1^{(m)}) \cdot \theta_1 \\\\ & ~~~~~~+(X_2^{(1)}X_1^{(1)} + X_2^{(2)}X_1^{(2)} + \cdots + X_2^{(m)}X_1^{(m)}) \cdot \theta_2 \\\\ & ~~~~~~+ \cdots \\\\ & ~~~~~~+ (X_n^{(1)}X_1^{(1)} + X_n^{(2)}X_1^{(2)} + \cdots + X_n^{(m)}X_1^{(m)}) \cdot \theta_n\\\\ & ~~~~~~- (y^{(1)} X_1^{(1)} + y^{(2)} X_1^{(2)}) + \cdots + y^{(m)} X_1^{(m)}] ~~~~~~~~~（将\theta 提出来）\\\\\\ & = \frac{1}{m} [\theta_0 \cdot \sum_{i=1}^m X_0^{(i)}X_1^{(i)} + \theta_1 \cdot \sum_{i=1}^m X_1^{(i)}X_1^{(i)} + \theta_2 \cdot \sum_{i=1}^m X_2^{(i)}X_1^{(i)} + \cdots + \theta_n \cdot \sum_{i=1}^m X_n^{(i)}X_1^{(i)} - \sum_{i=1}^m y^{(i)}X_1^{(i)}] \end{aligned} ∂θ1∂J(θ)=m1[X1(1)(θ0X0(1)+θ1X1(1)+θ2X2(1)+⋯+θnXn(1)−y(1)) +X1(2)(θ0X0(2)+θ1X1(2)+θ2X2(2)+⋯+θnXn(2)−y(2)) +⋯ +X1(m)(θ0X0(m)+θ1X1(2)+θ2X2(m)+⋯+θnXn(m)−y(m))]=m1[(θ0X0(1)X1(1)+θ1X1(1)X1(1)+θ2X2(1)X1(1)+⋯+θnXn(1)X1(1)−y(1)X1(1)) +(θ0X0(2)X1(2)+θ1X1(2)X1(2)+θ2X2(2)X1(2)+⋯+θnXn(2)X1(2)−y(2)X1(2)) +⋯ +(θ0X0(m)X1(m)+θ1X1(2)X1(m)+θ2X2(m)X1(m)+⋯+θnXn(m)−y(m)X1(m))] （把X1(i)乘进去）=m1[(X0(1)X1(1)+X0(2)X1(2)+⋯+X0(m)X1(m))⋅θ0 +(X1(1)X1(1)+X1(2)X1(2)+⋯+X1(m)X1(m))⋅θ1 +(X2(1)X1(1)+X2(2)X1(2)+⋯+X2(m)X1(m))⋅θ2 +⋯ +(Xn(1)X1(1)+Xn(2)X1(2)+⋯+Xn(m)X1(m))⋅θn −(y(1)X1(1)+y(2)X1(2))+⋯+y(m)X1(m)] （将θ提出来）=m1[θ0⋅i=1∑mX0(i)X1(i)+θ1⋅i=1∑mX1(i)X1(i)+θ2⋅i=1∑mX2(i)X1(i)+⋯+θn⋅i=1∑mXn(i)X1(i)−i=1∑my(i)X1(i)]

我们先对 ∑i=1mXa(i)Xb(i)\sum_{i=1}^m X_a^{(i)}X_b^{(i)}∑i=1mXa(i)Xb(i) 做下研究：
∑i=1mXa(i)Xb(i)=(Xa(1),Xa(2),⋯,Xa(n))⋅(Xb(1)Xb(2)⋯Xb(n))=XaT⋅Xb=XbT⋅Xa(3)\sum_{i=1}^m X_a^{(i)}X_b^{(i)} = (X_a^{(1)}, X_a^{(2)}, \cdots , X_a^{(n)}) \cdot \begin{pmatrix} X_b^{(1)} \\\\ X_b^{(2)}\\\\ \cdots\\\\ X_b^{(n)}\\ \end{pmatrix} = X_a^T \cdot X_b = X_b^T\cdot X_a ~~~~~~~~~~~(3) i=1∑mXa(i)Xb(i)=(Xa(1),Xa(2),⋯,Xa(n))⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛Xb(1)Xb(2)⋯Xb(n)⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=XaT⋅Xb=XbT⋅Xa (3)

将(3)式代入 ∂∂θ1J(θ)\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)∂θ1∂J(θ) 得

∂∂θ1J(θ)=1m[θ0⋅∑i=1mX0(i)X1(i)+θ1⋅∑i=1mX1(i)X1(i)+θ2⋅∑i=1mX2(i)X1(i)+⋯+θn⋅∑i=1mXn(i)X1(i)−∑i=1my(i)X1(i)]=1m(X0T⋅X1⋅θ0+X1T⋅X1⋅θ1+X2T⋅X1⋅θ2+⋯+XnT⋅X1⋅θn−X1T⋅y)\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta) & = \frac{1}{m} [\theta_0 \cdot \sum_{i=1}^m X_0^{(i)}X_1^{(i)} + \theta_1 \cdot \sum_{i=1}^m X_1^{(i)}X_1^{(i)} + \theta_2 \cdot \sum_{i=1}^m X_2^{(i)}X_1^{(i)} + \cdots + \theta_n \cdot \sum_{i=1}^m X_n^{(i)}X_1^{(i)} - \sum_{i=1}^m y^{(i)}X_1^{(i)}] \\\\ & = \frac{1}{m} (X_0^T \cdot X_1 \cdot \theta_0 + X_1^T \cdot X_1 \cdot \theta_1 + X_2^T \cdot X_1 \cdot \theta_2 +\cdots + X_n^T \cdot X_1 \cdot \theta_n - X_1^T\cdot y) \\\\ \end{aligned} ∂θ1∂J(θ)=m1[θ0⋅i=1∑mX0(i)X1(i)+θ1⋅i=1∑mX1(i)X1(i)+θ2⋅i=1∑mX2(i)X1(i)+⋯+θn⋅i=1∑mXn(i)X1(i)−i=1∑my(i)X1(i)]=m1(X0T⋅X1⋅θ0+X1T⋅X1⋅θ1+X2T⋅X1⋅θ2+⋯+XnT⋅X1⋅θn−X1T⋅y)

令 ∂∂θ1J(θ)=0\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)=0∂θ1∂J(θ)=0 ，得到如下等式：

(X0TX1,X1TX1,X2TX1⋯,XnTX1)⋅(θ0θ1⋯θn)=X1T⋅y(X_0^T X_1, X_1^T X_1, X_2^T X_1 \cdots, X_n^T X_1) \cdot \begin{pmatrix} \theta_0 \\\\ \theta_1 \\\\ \cdots\\\\ \theta_n\\ \end{pmatrix} = X_1^T\cdot y (X0TX1,X1TX1,X2TX1⋯,XnTX1)⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛θ0θ1⋯θn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=X1T⋅y

与 ∂∂θ1J(θ)=0\frac{\partial}{\partial\theta_1} J(\theta)=0∂θ1∂J(θ)=0 同理，对 θ0,θ2,θ3,⋯,θn\theta_0, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_nθ0,θ2,θ3,⋯,θn 做偏导等零，最终得：

(X0TX0,X1TX0,X2TX0⋯,XnTX0X0TX1,X1TX1,X2TX1⋯,XnTX1X0TX2,X1TX2,X2TX2⋯,XnTX2⋯X0TXn,X1TXn,X2TXn⋯,XnTXn)⋅(θ0θ1θ2⋯θn)=(X0T⋅yX1T⋅yX2T⋅y⋯XnT⋅y)\begin{pmatrix} X_0^T X_0, X_1^T X_0, X_2^T X_0 \cdots, X_n^T X_0 \\\\ X_0^T X_1, X_1^T X_1, X_2^T X_1 \cdots, X_n^T X_1 \\\\ X_0^T X_2, X_1^T X_2, X_2^T X_2 \cdots, X_n^T X_2 \\\\ \cdots\\\\ X_0^T X_n, X_1^T X_n, X_2^T X_n \cdots, X_n^T X_n\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \theta_0 \\\\ \theta_1 \\\\ \theta_2 \\\\ \cdots\\\\ \theta_n\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_0^T\cdot y \\\\ X_1^T\cdot y \\\\ X_2^T\cdot y \\\\ \cdots\\\\ X_n^T\cdot y\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛X0TX0,X1TX0,X2TX0⋯,XnTX0X0TX1,X1TX1,X2TX1⋯,XnTX1X0TX2,X1TX2,X2TX2⋯,XnTX2⋯X0TXn,X1TXn,X2TXn⋯,XnTXn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛θ0θ1θ2⋯θn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛X0T⋅yX1T⋅yX2T⋅y⋯XnT⋅y⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

左右两边进行处理，得（由(3)式子知 XaT⋅Xb=XbT⋅XaX_a^T \cdot X_b = X_b^T\cdot X_aXaT⋅Xb=XbT⋅Xa，这里交换了一下）：
(X0TX1TX2T⋯XnT)⋅(X0,X1,X2,⋯,Xn)⋅(θ0θ1θ2⋯θn)=(X0T⋅yX1T⋅yX2T⋅y⋯XnT⋅y)\begin{pmatrix} X_0^T \\\\ X_1^T \\\\ X_2^T \\\\ \cdots\\\\ X_n^T\\ \end{pmatrix} \cdot (X_0, X_1, X_2, \cdots, X_n) \cdot \begin{pmatrix} \theta_0 \\\\ \theta_1 \\\\ \theta_2 \\\\ \cdots\\\\ \theta_n\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X_0^T\cdot y \\\\ X_1^T\cdot y \\\\ X_2^T\cdot y \\\\ \cdots\\\\ X_n^T\cdot y\\ \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛X0TX1TX2T⋯XnT⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⋅(X0,X1,X2,⋯,Xn)⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛θ0θ1θ2⋯θn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛X0T⋅yX1T⋅yX2T⋅y⋯XnT⋅y⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

将上式继续变换，得：
XT⋅X⋅θ=XT⋅yX^T \cdot X \cdot \theta = X^T \cdot y XT⋅X⋅θ=XT⋅y

两边同时乘 (XT⋅X)−1(X^T \cdot X)^{-1}(XT⋅X)−1 得最终结果：
θ=(XT⋅X)−1⋅XT⋅y\theta = (X^T \cdot X)^{-1} \cdot X^T\cdot y θ=(XT⋅X)−1⋅XT⋅y

参考资料

考研必备数学公式大全: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576

机器学习纸上谈兵之线性回归: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/117967229

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