推荐算法基础--矩阵奇异值分解svd

在推荐系统中协同过滤应该算是大名鼎鼎了，基本上做推荐的线上都会用协同过滤，比较简单而且效果较好，而协同过滤又分为基于用户的和基于物品的，基本上原理就是“与当前用户行为相似的用户喜欢一个物品，那么当前用户也会喜欢这个物品”，或者“物品A和物品B同时都被一个用户群喜欢，那么认为他们相似”。而协同过滤算法主要有两个模型，最邻近点对模型和潜在语义模型，第一个比较常用且为大家熟知，因为就是定义权值计算相似度，主要介绍第二个。
潜在语义模型最典型的就是矩阵分解模型，矩阵分解模型尝试找到一系列潜在向量参数。对每个用户u，找到一个k维向量Wu，对每个资源i，找到一个k维向量Hi。并且假设模型中每个用户u对每个资源i的兴趣为对应的潜在向量Wu和Hi的内积。说白了就是矩阵分解，然后通过奇异值提取特征来填充矩阵，推荐的本质就是根据矩阵中已知量计算未知量的过程。
对于一个矩阵m行n列矩阵M，存在一个分解使得

M=UΣV∗

M = U \Sigma V^* \,
其中U是mxm阶方阵，Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶方阵，称为M的奇异值分解，Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。
一个非负实数σ是M的一个奇异值仅当存在Km的单位向量u和Kn的单位向量v如下：

Mv=σu and M∗u=σv.

Mv = \sigma u \,\text{ and } M^{*}u= \sigma v. \,\!
其中向量u和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。

如果一个矩阵分解后奇异值存在0，则奇异值分解结果不唯一。

对于任意的奇异值分解

M=UΣV∗

M = U\Sigma V^{*} \,\!

矩阵Σ的对角线上的元素等于M的奇异值. U和V的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此，上述定理表明：

一个m×n的矩阵至多有p = min(m,n)个不同的奇异值；
总能在Km中找到由M的左奇异向量组成的一组正交基U；
总能在Kn找到由M的右奇异向量组成的一组正交基V。

svd分解方法基本上搜了半天没有找到，有人了解可以详细解释下，或者后面找到了补充一下，但是基本上都有现成的库可以用。
这里说一下矩阵分解在推荐中的运用：

利用矩阵分解，然后用 UΣV∗ U\Sigma V^{*} \,\!还原矩阵填充矩阵中未知变量，这样就能知道用户对物品的喜爱程度，然后做推荐
运用矩阵分解提取特征，然后获取重要特征，从大到小排序取最大的k个，用M.T*Uk*Σk.I提取物品特征，(这里.T表示矩阵转置，.I表示逆矩阵)由于特征只有k个，矩阵变成m行k列，然后可以很快计算物品相似度，推荐用户喜欢物品的相似物品。
同样提取重要特征，然后用M*Vk*Σk提取用户特征，计算用户相似度，做用户聚类之类。这里可能有些地方不对，有不对的希望指正。

下面上一个例子，通过矩阵分解提取主要特征，然后计算物品相似度给某个用户推荐物品：

#coding=UTF-8
from numpy import *
from numpy import linalg as ladef loadExData():return[[0, 0, 0, 2, 2],[0, 0, 0, 3, 3],[0, 0, 0, 1, 1],[1, 1, 1, 0, 0],[2, 2, 2, 0, 0],[5, 5, 5, 0, 0],[1, 1, 1, 0, 0]]def loadExData2():return[[0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5],[0, 0, 0, 3, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 3],[0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 4, 0],[3, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0],[5, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 1, 0, 0, 5, 0],[4, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 0, 1],[0, 0, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],[0, 0, 0, 2, 0, 2, 5, 0, 0, 1, 2],[0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 4, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0]]def ecludSim(inA,inB):return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))def pearsSim(inA,inB):if len(inA) < 3 : return 1.0return 0.5+0.5*corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]def cosSim(inA,inB):num = float(inA.T*inB)denom = la.norm(inA)*la.norm(inB)return 0.5+0.5*(num/denom)def standEst(dataMat, user, simMeas, item):n = shape(dataMat)[1]simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0for j in range(n):userRating = dataMat[user,j]if userRating == 0: continueoverLap = nonzero(logical_and(dataMat[:,item].A>0, \dataMat[:,j].A>0))[0]if len(overLap) == 0: similarity = 0else: similarity = simMeas(dataMat[overLap,item], \dataMat[overLap,j])print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0: return 0else: return ratSimTotal/simTotaldef svdEst(dataMat, user, simMeas, item):n = shape(dataMat)[1]simTotal = 0.0; ratSimTotal = 0.0U,Sigma,VT = la.svd(dataMat)Sig4 = mat(eye(4)*Sigma[:4]) #arrange Sig4 into a diagonal matrixxformedItems = dataMat.T * U[:,:4] * Sig4.I  #create transformed itemsSig = mat(eye(n)*Sigma) #arrange Sig4 into a diagonal matrix#print Sig#print U * Sig * VT #back up source mat#print xformedItems #item feature begin compute item similer#print "user feature:"#xformedUsers = dataMat * VT[:,:4] * Sig4#print xformedUsers#print  xformedUsers * xformedItems.T#print dataMatfor j in range(n):userRating = dataMat[user,j]if userRating == 0 or j==item: continuesimilarity = simMeas(xformedItems[item,:].T,\xformedItems[j,:].T)print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)simTotal += similarityratSimTotal += similarity * userRatingif simTotal == 0: return 0else: return ratSimTotal/simTotaldef recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):#print 'type', dataMat[:,:4] #the number user line or colprint nonzero(dataMat[user,:].A==0) # to arrayunratedItems=nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]print unratedItems#unratedItems = nonzero(dataMat[user,:].A==0)[1]#find unrated items if len(unratedItems) == 0: return 'you rated everything'itemScores = []for item in unratedItems:estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)itemScores.append((item, estimatedScore))return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[:N]def printMat(inMat, thresh=0.8):for i in range(32):for k in range(32):if float(inMat[i,k]) > thresh:print 1,else: print 0,print ''def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):myl = []for line in open('0_5.txt').readlines():newRow = []for i in range(32):newRow.append(int(line[i]))myl.append(newRow)myMat = mat(myl)print "****original matrix******"printMat(myMat, thresh)U,Sigma,VT = la.svd(myMat)SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))for k in range(numSV):#construct diagonal matrix from vectorSigRecon[k,k] = Sigma[k]reconMat = U[:,:numSV]*SigRecon*VT[:numSV,:]print "****reconstructed matrix using %d singular values******" % numSVprintMat(reconMat, thresh)
if __name__ == '__main__':print "begin"myData=loadExData2()myMat=mat(myData)#myMat = mat(loadExData)recommend(myMat, 2, 3, cosSim, svdEst)

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