菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通

B y H o l y P u s h By\quad HolyPush ByHolyPush

话说法力无边的 c j cj cj扔给愚蠢的 H P HP HP的这道题，是这样的：
已知 ∠ C A B = 60 ° , Δ B C P ∠CAB=60°,\Delta BCP ∠CAB=60°,ΔBCP是边长为 2 2 2的等边三角形，求 A P AP AP最大值。
听说 c j cj cj是因为看到愚蠢的 H P HP HP因为多日未鸡导致的失心疯上传了 0 0 0分作业而给他的惩罚 … … …… ……

废话就不多说了，因为现在是在学解三角形，所以第一时间想到的就是暴算啦！

设随便一个角，比如 ∠ C B A = α ∠CBA=α ∠CBA=α，那么在 △ A C B △ACB △ACB中运用正弦定理， A C s i n α = C B s i n ∠ C A B \frac{AC}{sinα}=\frac{CB}{sin∠CAB} sinαAC=sin∠CABCB，解得 A C = 4 3 3 s i n α AC=\frac{4\sqrt{3}}{3}sinα AC=343 sinα。再在 Δ A C P \Delta ACP ΔACP中运用余弦定理，
A P 2 = A C 2 + C P 2 − 2 A C × C P c o s ( ∠ A C B + ∠ B C P ) AP^2=AC^2+CP^2-2AC×CPcos(∠ACB+∠BCP) AP2=AC2+CP2−2AC×CPcos(∠ACB+∠BCP)
= 16 3 s i n 2 α + 4 − 16 3 3 s i n α c o s ( 180 ° − α ) =\frac{16}{3}sin^2α+4-\frac{16\sqrt{3}}{3}sinαcos(180°-α) =316sin2α+4−3163 sinαcos(180°−α)
= 16 3 × 1 − c o s 2 α 2 + 4 + 8 3 3 s i n 2 α =\frac{16}{3}×\frac{1-cos2α}{2}+4+\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha =316×21−cos2α+4+383 sin2α
= 8 3 3 s i n 2 α − 8 3 c o s 2 α + 20 3 =\frac{8\sqrt{3}}{3}sin2\alpha-\frac{8}{3}cos2α+\frac{20}{3} =383 sin2α−38cos2α+320
= 16 3 s i n ( 2 α − 30 ° ) + 20 3 =\frac{16}{3}sin(2α-30°)+\frac{20}{3} =316sin(2α−30°)+320
当且仅当 α = 60 ° α=60° α=60°时，取最大值 12 12 12，即 A P 2 ≤ 12 AP^2≤12 AP2≤12
故 A P ≤ 2 3 AP≤2\sqrt{3} AP≤23

正当愚蠢的 H P HP HP干脆利落地放下笔打算舒服一阵时，发现坐在他面前的所有人都已经睡着了。思思大哭 ! ! !

愚蠢的 H P HP HP用他的余光偷瞄了一眼聪明的 t x l txl txl的做法，发现这个做法比自己的破方法好多了惹。

聪明的 t x l txl txl看到这个图形，巧妙地想到了初中常用的技巧：做对称点！

作 P P P关于 A C , A B AC,AB AC,AB的对称点 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2，由对称的性质可以得到 A P 1 = A P 2 = A P , C P 1 = B P 2 = B C = 2 ， ∠ C A P 1 = ∠ C A P , ∠ B A P 2 = ∠ B A P AP_1=AP_2=AP,CP_1=BP_2=BC=2，∠CAP_1=∠CAP,∠BAP_2=∠BAP AP1=AP2=AP,CP1=BP2=BC=2，∠CAP1=∠CAP,∠BAP2=∠BAP，故 ∠ P 1 A P 2 = 120 ° ∠P_1AP_2=120° ∠P1AP2=120°。 Δ P 1 A P 2 \Delta P_1AP_2 ΔP1AP2是一个顶角为 120 ° 120° 120°的等腰三角形厚！如果我们要求 A P AP AP最大值，只要求 A P 1 AP_1 AP1最大值，也只需要求 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2最大值噜！
根据折线，可以得到 P 1 P 2 ≤ P 1 C + C B + B P 2 = 6 P_1P_2≤P_1C+CB+BP_2=6 P1P2≤P1C+CB+BP2=6，又因为在顶角为 120 ° 120° 120°的等腰三角形中，底边是腰长的 3 \sqrt{3} 3 倍，所以 A P 1 ≤ 2 3 AP_1≤2\sqrt{3} AP1≤23 ，也就是 A P ≤ 2 3 AP≤2\sqrt{3} AP≤23 。泰简单勒惹！

愚蠢的 H P HP HP心中出现了 t x l txl txl高大伟岸的形象，太帅了惹！！正打算到讲台上表演一段活零活现的舞蹈，却发现太上老君 l a r lar lar也有神奇的做法！

将图形补全为一个大的正三角形，根据初中的知识可以得到 Δ A B C ≌ Δ E C P \Delta ABC≌\Delta ECP ΔABC≌ΔECP。不妨设 A C = E P = x , A B = E C = y AC=EP=x,AB=EC=y AC=EP=x,AB=EC=y。则在 Δ A E P \Delta AEP ΔAEP中使用余弦定理可以得到 A P 2 = ( x + y ) 2 + x 2 − 2 ( x + y ) x c o s 60 ° = x 2 + y 2 + x y AP^2=(x+y)^2+x^2-2(x+y)xcos60°=x^2+y^2+xy AP2=(x+y)2+x2−2(x+y)xcos60°=x2+y2+xy。而在 Δ A B C \Delta ABC ΔABC中使用余弦定理可以得到 x 2 + y 2 − x y = 4 x^2+y^2-xy=4 x2+y2−xy=4，所以 A P 2 = 4 + 2 x y AP^2=4+2xy AP2=4+2xy。要求出 A P AP AP的最大值，只需要求出 x y xy xy最大值即可。那怎么求呢？太上老君 l a r lar lar同样给出了两种方法。

∵ x 2 + y 2 − x y = ( x − y ) 2 + x y = 4 ∵x^2+y^2-xy=(x-y)^2+xy=4 ∵x2+y2−xy=(x−y)2+xy=4，
∴ x y = 4 − ( x − y ) 2 ≤ 4 ∴xy=4-(x-y)^2≤4 ∴xy=4−(x−y)2≤4，当且仅当 x = y = 2 x=y=2 x=y=2时取等

看到既有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2，又有 x y xy xy，而且还是个等式，除了配凑完全平方外，是不是还可以想到使用不等式？

4 = x 2 + y 2 − x y ≥ 2 x y − x y = x y 4=x^2+y^2-xy≥2xy-xy=xy 4=x2+y2−xy≥2xy−xy=xy，故 x y ≤ 4 xy≤4 xy≤4，所以 A P 2 ≤ 12 AP^2≤12 AP2≤12，即 A P ≤ 2 3 AP≤2\sqrt{3} AP≤23 ，在 x = y = 2 x=y=2 x=y=2时取到等号。又是一种有趣的做法！

愚蠢的 H P HP HP：应该没有其他做法了吧……
无敌的一哥：不，我还有！

无敌的一哥：既然 B C P BCP BCP三个点动来动去太烦，不如考虑一下相对运动， B C P BCP BCP静止， A A A点动？
愚蠢的 H P HP HP：！！！
无敌的一哥： ∠ C A B ∠CAB ∠CAB的大小为固定的 60 ° 60° 60°，所以 A A A点在一个以 B C BC BC为弦的圆上运动。要求的即是圆外一点 P P P到圆上一点的最远距离……
愚蠢的 H P ( HP( HP(打断 ) : ): ):不不不一哥你还是让我自己想吧。
无敌的一哥：哦，好吧。顺便说一句，你还可以取 △ B C P △BCP △BCP的重心，通过四点共圆和三角形两边之和大于第三边来做噢！ B y e Bye Bye~~~ D a . Da. Da.
愚蠢的 H P HP HP跪倒在地……真是八仙过海，各显神通啊……

欲知后事如何，倾听下回因式分解。

菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通相关推荐

菜鸡HP的被虐日常（1）难搞的四边形面积①
ByHolyPushBy \quad HolyPushByHolyPush 在RtΔABCRt\Delta ABCRtΔABC中,BBB为直角,A=60°A=60°A=60°,AB=43AB=4\sq ...
菜鸡HP的被虐日常（10）波罗尼斯圆是谁？为什么要阿他？
B y H o l y P u s h By\quad HolyPush ByHolyPush 聪明的 t x l : txl: txl:不不,数列刚起步有什么难的题好说的?我们还是继续看三角吧. 在 ...
转专业菜鸡的秋招总结
基础不牢地动山摇重拾基础春招再战写在前面阿宾的高中成绩并不理想现实不像小说现实往往比小说更加精彩进入12月,秋招基本收官,在结束了11月末的最后一场面试后,回顾总结了秋招的坎坷经历,悔 ...
菜鸡程序员报道（大冬瓜镇贴）
这里是菜鸡程序员这里是菜鸡程序员的鸡园,鸡园将会记录一些关于Java基础.一些框架的使用.源码解读.日常工作出现的问题等...
河南省第十一届ACM大赛心得——菜鸡的自述
(这篇文章在我博客的私密文章里躺了快一年,2333我之前怎么这么矫情,现在决定还是发出来,纪念一下一年前的迷茫的自己.嗯,我坚持下来了) 去比赛之前,我就一直在想会是什么样的结果,结束后会是什么样的心 ...
szu 寒训 day#3 ST表和 LCA问题附例题菜鸡解法
昨天我们讲述了树状数组今天我们来讲ST表(解决静态RMQ (Rang Minmum/Maximum Query)问题的数据结构) 假如说我们暴力去查询区间的最值得话每次操作都是O(n) 如果询问次数跟 ...
渣渣菜鸡的 ElasticSearch 源码解析 —— 启动流程（上）
关注我转载请务必注明原创地址为:http://www.54tianzhisheng.cn/2018/08/11/es-code02/ 前提上篇文章写了 ElasticSearch 源码解析 -- ...
个人博客（前端菜鸡）持续开发中，可前往欢迎访问. www.amayaliu.cn
你必须非常努力,才能看起来毫不费劲. You have to work very hard to look effortless. 个人博客(前端菜鸡)持续开发中,可前往欢迎访问. www.amay ...
bilibili源码_Java开源商城源码推荐，从菜鸡到大神，永远绕不开的商城系统
每个Java程序员,从懵逼菜鸡,再到懵懂菜鸟,再到小鸟,大鸟,最后到技术大神,始终绕不开商城系统,里面蕴含了大量的业务,涉及到了大量的知识点和解决方案. 今天介绍一款Java开源商城源码 xmall- ...

菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通

B y H o l y P u s h By\quad HolyPush ByHolyPush

菜鸡HP的被虐日常（3）八仙过海各显神通相关推荐

最新文章

热门文章