线性代数：特征向量和特征值

这里要注意，一个矩阵的特征向量可以生成这个矩阵空间。特征值为0，那么对应的特征向量就生成矩阵的零空间。

投影矩阵的特征向量可以生成整个空间。

对称矩阵的特征向量相互垂直。而特征值之和等于对角线上元素之和。

这里也很有意思，矩阵和单位矩阵进行相加操作，相当于平移，会改变特征值，但不改变特征向量。

这个回答里有错误，只有实对称矩阵的特征向量才是正交基。这里面只有线性无关。

但不妨碍我们理解特征值和特征向量。对于任何一个空间，我们观察同一个向量会有不同的答案。

对于一个矩阵，他可以表示两个空间之间的一种关系，而特征值和特征向量则可以更加清晰的向我们展示这种关系，根据特征向量的定义，我们可以知道

$Ax = \lambda x$

所以，特征向量在这两个空间中，只有缩放，没有旋转。而从缩放的角度考虑，行列式代表的是

缩放的体积，而特征值，刚好就是缩放的比例。不过这里可能还需要理解，体积，似乎应该是垂直的情况下，但你从微分的角度来考虑，每一个微元，在任何方向上执行了一个缩放x，他的体积变化就是x。举个例子

正方形边长为1，那么长缩放2，面积就是2倍，宽也同理。那么为什么对角线缩放也是2倍呢，

对角线是 $2^{1/2}$ * 2，那么面积不是4么。但其实你要从对角线的方向思考问题，

可以看到其实每一个斜边，都是被扩大了两倍，最终变成了一个菱形，而不是正方形了。

这里很有意思，对于旋转矩阵而言，是通过虚数特征值来进行旋转的。也就是虚数其实代表的是旋转。实数代表的是缩放。这个和我们学习四元数的思想是一致的。

这里有个小技巧，因为原来是k+2 k+1 k三个项，需要通过把k+2 k+1合并，k+1 k合并，得到新的k+1和k的关系。

这里我们要理解微分方程到底是什么，因为存在特征值和特征向量，所以我们可以把微分方程理解成一个系统，他的系统可以用矩阵来表示，然后对于输入t，可以有对应时刻的输出。

这一段的解释又回到了的证明的老套路。但要把解和e以及兰八达联系起来似乎也没有更好的办法。不过我们还是可以尝试去理解一下。首先我们知道的是uk和uk-1之间的关系，他们是通过一个矩阵A来联系的。如果从空间转化角度来说，那么就是把一个空间下的坐标变成另一个空间下的坐标。而这个矩阵就反映了全部的信息。

对于本来的一个坐标（x,y）经过一个矩阵转变后，会变成新的列空间的线性组合，那么相当于在列空间中的(x,y)在我们现在这个空间下的坐标值。那么这个矩阵的特征向量，也就是说，在列空间下的坐标(a,b)，经过矩阵变换后，方向并没有发生变化。那么我们知道，(a,b)肯定是可以通过特征向量来线性组合的，特征向量张成了整个空间，而a,b的维数和张成的空间的维数相等。那么，对于特征向量来说，它应该是位于列空间中的。而(a,b)而是位于列空间的，不过有意思的在于，因为经过矩阵变换(a,b)并没有发生方向上的改变，（排除虚数的情况）。所以，我们似乎可以从这个迭代过程中提取出特征值。而e的存在则是因为du和u本身是线性关系。这种奇妙的关系往往会引出两个特殊极限，导出结果为e的一个情况。

我们继续强化这个概念和印象。对于矩阵A，它的特征向量是存在于列空间中的，可以把一个列空间中的向量重新用特征向量的角度来线性组合，因为S是一个常数矩阵，和t无关。最终我们得到了dv/dt = 对角阵v，于是dv/dt=兰步达v，这样，我们就解耦了之前的情况。额这个情况足够简单，可以得到e。

最后这个对角阵指数，可以通过带入泰勒级数来获得这个结果。

这里二阶微分方程用的是和斐波那契数列一样的方法，同样的，对于k阶微分方程，也是用kxk的矩阵来表示。

这里利用了求解矩阵特征值的方法。

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