时间序列计量经济学模型

1. 序列相关性

序列相关性

• 定义
  • 随机误差项存在序列相关性
    • Cov(u_i,u_j) = E(u_i,u_j) != 0
• 一阶序列相关或自相关
  • E(u_t,u_t+1) != 0
    • 或u_t = pu_t-1 + e_t
      • P是自协方差系数，或一阶自相关系数

实际经济问题中的序列相关性

• 原因
  • 经济变量固有的惯性
  • 模型设定偏误
    • 丢掉了重要的解释变量或形式有偏误
  • 数据的编造
    • 通过已知数据生成数据

序列相关性的后果

• 参数估计量具有线性无偏性，不具有有效性。大样本下具有一致性，但不具有渐进有效性
• 变量的显著性检验失去意义
  • T统计检验是建立在参数方差正确估计基础上的
• 模型的预测失效

序列相关性的检验

• 共同思路
  • 采用普通最小二乘法估计，求得残差e，分析e自身的相关性
• 图示法
  • 时间与e的图

• 回归检验法
  • 以e_t为被解释变量,以各种相关的如e_t-1等为解释变量，建立方程，进行显著性检验
• D.W.检验法
  • 只能检验一阶自相关，对存在滞后被解释变量的模型无法检验

• 拉格朗日乘数检验

序列相关的补救

• 变换原模型为不存在序列相关的模型，再采用普通最小二乘法估计，广义最小二乘法和广义差分法
• 仍采用普通最小二乘法估计原模型，之后再修正参数，称为序列相关稳健估计法
• 随机干扰项相关系数的估计
  • 科克伦-奥科特迭代法

虚假序列相关问题

• 定义：如果随机干扰项的序列相关是在模型设定中遗漏了重要的解释变量或模型设定偏误，可称为虚假序列相关
  • 模型的设定偏误检验
  • 如何在设定模型时就避免产生虚假序列相关问题

2. 平稳性及其检验

问题的提出

• 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型设定正确的前提下，随机干扰项仍然满足极限法则
• 采用平稳时间序列建立模型，可以有效地减少虚假回归
  • 完全无关的非平稳时间序列之间可以得到拟合很好但毫无道理的回归结果，就是虚假回归
  • 虚假回归，不仅可能出现在非平稳时间序列之间，也可能出现在平稳时间序列和截面数据序列之间
  • 杜绝虚假回归最根本的方法是正确的设定模型

时间序列数据的平稳性

• 随机时间序列是平稳的
  • 某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时间序列{X_t}(t=1,2,…)的每个数值都从一个概率分布中随机得到，如果X_t满足下列条件：
    • 均值E(X_t) = u, 与时间t无关的常数
    • 方差Var(X_t) = d^2, 与时间t无关的常数
    • 协方差Cor(X_t,X_t+k) = r_k, 只与时期间隔有关，与时间常数t无关的常数
• 平稳随机过程
  • 上述随机过程是一个平稳随机过程

• 简单随机时间序列
  • 白噪声
    • X_t是一个具有零均值同方差的独立分布序列
  • 随机游走
    • 由如下随机过程生成
      • X_t = X_t-1 + u_t

• • 该序列有相同均值
  • 该序列方差与时间t有关而非常数，所以非平稳
  • 一阶差分
    • 对随机游走序列取一阶差分，可得到平稳序列

平稳性的图示判断

• 时间路径图
  • 围绕均值不断波动则平稳
  • 不同的时间段具有不同的均值则非平稳
• 时间序列的自相关函数
  • p_k = r_k/r_0
  • 分子是时间序列滞后k期的协方差
  • 分母是方差
  • 自相关函数越快趋近于0，越平稳

平稳性的单位根检验

• DF检验
  • 随机模型
    • X_t = pX_t-1 + u_t
  • 单位根
    • 对随机模型回归，如果p=1，则称变量X_t有一个单位根

• • 判断平稳性
    • 如果有单位根，则是随机游走序列，则非平稳
    • 假设p=1，进行t检验
• ADF检验
  • DF检验的问题：
    • 假设时间序列是由具有白噪声随机干扰项的，一阶自回归过程生成的
    • 随机干扰项有可能并非白噪声
    • 如果时间序列包含有明显的趋势，趋势成分会进入随机干扰项
  • 通过三个模型完成
    • 第一个模型不包含常数项和趋势项，增加滞后项，消除时间序列由更高级的自回归过程生成时随机干扰项的序列相关，保证随机干扰项是白噪声
    • 第二个模型增加了常数项
    • 第三个模型增加了常数项和趋势项

单整时间序列

• 一阶单整序列
  • 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整序列
  • 记为I(1)
• d阶单整序列
  • 一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整序列
  • 记为I(d)

• 平稳时间序列
  • I(0)
• 非单整的
  • 无论经过多少次差分，都不能变成为平稳的

3. 协整与误差修正模型

时间序列大都非平稳，需要进行协整检验

长期均衡关系与协整

• 长期均衡关系
  • 如果变量在某时期受到干扰后偏离长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态
  • X与Y的长期均衡关系可表示为：Y_t = a_0 + a_1X_t + u_t
  • 如果长期均衡关系正确，那么随机干扰项必须是平稳序列
• 非均衡误差
  • 即长期均衡关系中的u_t = Y_t - a0 -a_1X_t
  • 如果长期均衡关系正确，那么非均衡误差应该是0均值的I(0)序列

• 协整
  • 如X与Y是I(1)序列，如果他们之间的长期均衡关系成立，则意味着非均衡误差的线性组合是I(0)序列。这时我们称变量X与Y是协整的
  • 如果两个变量都是单整变量，只有阶数相同时，才可能协整，阶数不同，不可能协整

协整的检验

• 两变量的Engle-Granger检验（两步检验法EG检验）
  • 第一步：协整回归/静态回归
    • 用普通最小二乘法对长期均衡关系式计算非均衡误差e_t = Y_t - hat Y_t
  • 第二步：检验e_t的单整性
    • 如果e_t为稳定序列，则认为变量Y_t，X_t为（1，1）阶协整
    • 否则，认为不存在协整关系
    • 检验方法是DF检验，或ADF检验

• 多变量的协整关系的检验
  • 协整向量
    • 如果多变量X = (X_0t,X_1t,X_2t…)是d阶单整的，存在向量A = (a0，a1，a2…)，AX是（d，b）阶协整的，那么A为协整向量
  • 假设多变量都是I(1)，且存在长期均衡关系
  • 轮流设置被解释变量，其他变量为解释变量，进行普通最小二乘法并进行平稳性检验。如果不平稳，则轮到下一个变量。直到都试过，如果仍不能得到平稳的残差序列，那么这些变量间不存在（d,d）阶协整

关于均衡与协整的再讨论

• 协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义
• 均衡方程中应包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程中可以只包含其中的一部分
• 协整方程只要求随机项是平稳的，而均衡方程要求随机项是白噪声
• 不能由协整关系导出均衡关系，只能用协整关系检验均衡关系

误差修正模型

• 格兰杰表述定理

4. 格兰杰因果关系检验

时间序列自回归模型(AR模型)

• 仅用过去值及随机扰动项建立起来的模型
• 建立自回归模型的条件
  • 模型具体形式
  • 时序变量的后滞期
    • 后滞期为p，则称n阶自回归模型AR(p)
  • 随机扰动项的结构
    • 如果是白噪声，则称为纯AR(p)过程
    • 如果不是白噪声，则称为q阶移动平均过程MA(q)
    • 如果是白噪声的线性组合，则成为纯MA(q)过程

• 自回归移动平均过程ARMA(p, q)
  • 该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释
  • 如果该序列是平稳的，那么就可以通过该序列的过去行为来预测未来
• AR(p)模型的平稳性条件
  • 如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就是非平稳的

向量自回归模型(VAR模型)

• 定义
  • 将单个时间序列自回归模型扩展到多个时间序列，即构成向量自回归模型
• 由k个时间序列，p期滞后的向量自回归模型VAR(p)

格兰杰因果关系检验及其应用

• 问题的提出
  • 当两个变量在时间上由先导-滞后关系时，能否从统计上考察这种关系是单向的还是双向的
• 量变量X、Y之间的格兰杰因果关系检验的表述
  • 若在包含了变量X、Y的过去信息的条件下，对变量Y的预测效果要优于只单独由Y的过去信息对Y进行预测的效果，即变量X有助于解释变量Y的将来的变化，则认为变量X是引致变量Y的格兰杰原因