质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。

【1】一般方法

素数是除了1和它本身之外再不能被其他数整除的自然数。由于找不到一个通项公式来表示所有的素数，所以对于数学家来说，素数一直是一个未解之谜。像著名的

哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，几百年来不知吸引了世界上多少优秀的数学家。尽管他们苦心钻研，呕心沥血，但至今仍然未见分晓。

自从有了计算机之后，人们借助于计算机的威力，已经找到了2216091以内的所有素数。

求素数的方法有很多种，最简单的方法是根据素数的定义来求。对于一个自然数N，用大于1小于N的各个自然数都去除一下N，如果都除不尽，则N为素数，否则N为合数。

但是，如果用素数定义的方法来编制计算机程序，它的效率一定是非常低的，其中有许多地方都值得改进。

第一，对于一个自然数N，只要能被一个非1非自身的数整除，它就肯定不是素数，所以不

必再用其他的数去除。

第二，对于N来说，只需用小于N的素数去除就可以了。例如，如果N能被15整除，实际

上就能被3和5整除，如果N不能被3和5整除，那么N也决不会被15整除。

第三，对于N来说，不必用从2到N一1的所有素数去除，只需用小于等于√N(根号N)的所有素数去除就可以了。这一点可以用反证法来证明：

如果N是合数，则一定存在大于1小于N的整数d1和d2，使得N=d1×d2。

如果d1和d2均大于√N，则有：N＝d1×d2>√N×√N＝N。

而这是不可能的，所以，d1和d2中必有一个小于或等于√N。

基于上述分析，设计算法如下：

(1)用2，3，5，7逐个试除N的方法求出100以内的所有素数。

(2)用100以内的所有素数逐个试除的方法求出10000以内的素数。

首先，将2，3，5，7分别存放在a[1]、a[2]、a[3]、a[4]中，以后每求出一个素数，只要不大于100，就依次存放在A数组中的一个单元

中。当我们求100—10000之间的素数时，可依次用a[1]－a[2]的素数去试除N，这个范围内的素数可以不保存，直接打印。

【2】我们这里主要是讲解厄拉多塞筛法：

简单介绍一下厄拉多塞筛法。厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数

是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于

N的素数。

这很像一面筛子，把满足条件的数留下来，把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的，所以，后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。

在计算机中，筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是：首先开一个数组：a[i]，i=1，2，3，…，同时，令所有的数组元素都等于下标

值，即a[i]=i，当i不是素数时，令a[i]=0

。当输出结果时，只要判断a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，则令i=i+1，检查下一个a[i]。

筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。

C++代码参考(求小于2000的素数)：

#include "stdafx.h"

#include

usingnamespacestd;

#define N 2000

int_tmain(intargc, _TCHAR* argv[])

{

intnum[N];

for(inti = 0; i

{

num[i] = i;

}

for(intj = 2; j

{

if(0 != num[j])

{

for(intk = 2; k*j

{

num[k*j] = 0;

}

}

}

for(intn = 0; n

{

if(0 != num[n])

{

cout<

}

}

cout<

return0;

}

【3】用6N±1法求素数。

任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：

6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)

显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。

根据上述分析，我们可以构造另一面筛子，只对形如6

N±1的自然数进行筛选，这样就可以大大减少筛选的次数，从而进一步提高程序的运行效率和速度。

与质数有关的猜想

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想(Goldbach

Conjecture)大致可以分为两个猜想(前者称“强”或“二重哥德巴赫猜想”后者称“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：1、每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2、每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇质数之和。

黎曼猜想

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。

此条质数之规律内的质数月经过整形，“关于质数的方程的所有意义的解都在一条直线上”化为球体质数分布。

孪生质数猜想

1849年，波林那克提出孪生质数猜想(the conjecture of twin

primes)，即猜测存在无穷多对孪生质数。

猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生质数。

10016957和10016959是发生在第333899位序号质数月的中旬[18±1]的孪生质数。

质数月定位孪生质数发生位置：

首个质数月孪生质数发生位置：[T-1]*30+【[4±1] [6±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】

T=1

其余质数月孪生质数发生位置：[T-1]*30+【[0±1] [12±1] [18±1] [30±1] 】

T=N是自然数代表质数月