偏微分方程的引入及概述

基本概念

定义：
关于未知函数u(x1,x2,...,xn)u(x_1,x_2,...,x_n)u(x1,x2,...,xn)的偏微分方程是形如
F(x,u,Du,ux1x1,ux1x2,...,uxnxn,...)=0(1)F(x,u,Du,u_{x_1x_1},u_{x_1x_2},...,u_{x_nx_n},...)=0 \tag 1 F(x,u,Du,ux1x1,ux1x2,...,uxnxn,...)=0(1)
的关系式，其中
x=(x1,x2,...,xn)x=(x_1,x_2,...,x_n) x=(x1,x2,...,xn)
一阶偏导DuDuDu为:
Du=(ux1,ux2,...,uxn)Du=(u_{x_1},u_{x_2},...,u_{x_n}) Du=(ux1,ux2,...,uxn)
FFF是关于自变量xxx和未知函数uuu及uuu的有限多个偏导数的已知函数。FFF可以不显含未知函数uuu及其自变量xxx，但必须含有未知函数的偏导数。
古典解：
如果有一个函数（在方程组的情形是一组函数）在其自变量x=(x1,x2,...,xn)x=(x_1,x_2,...,x_n)x=(x1,x2,...,xn)的某变化范围内连续，并具有方程（方程组）出现的一切连续偏微商，将它代入方程（方程组）后使其成为恒等式。

无特别说明的情况下，自变量ttt表示时间，(x1,x2,...,xn)(x_1,x_2,...,x_n)(x1,x2,...,xn)表示nnn维空间自变量。

偏微分方程（PDE）的分类

阶数：
一个偏微分方程或方程组的阶数是其中最高阶微商的阶数。
线性：
偏微分方程或方程组如果它关于未知函数及其所有微商都是线性的，则称为线性的。
非线性：
偏微分方程或方程组如果它对于未知函数及其所有微商，存在一个是非线性的，则该方程或方程组称为非线性的。

形象解释：
“非线性”就是“量”的次数不等于1，或者“量”参与了其它运算的情形，比如指数函数就不是关于自变量的线性函数。

名称	判断条件
半线性PDE	最高阶导数是线性的，并且其系数只依赖于自变量或取常数
拟线性PDE	最高阶导数是线性的，并且其系数依赖于未知函数或者未知函数的低阶导数
全非线性PDE	最高阶导数是非线性的

Laplace(拉普拉斯)算子

Δ=∂2∂x12+...+∂2∂xn2\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+...+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} Δ=∂x12∂2+...+∂xn2∂2
这个算子在刚性运动下保持不变，即在坐标的平移和旋转变换下不变。

常见PDE

二阶线性方程的一般形式

Lu≡∑i,j=1naij(x)uxixj+∑i=1nbi(x)uxi+c(x)u=f(x)(2)Lu \equiv \sum_{i,j=1}^{n} a^{ij}(x)u_{x_ix_j} + \sum_{i=1}^{n} b^i(x) u_{x_i} + c(x) u = f(x) \tag 2 Lu≡i,j=1∑naij(x)uxixj+i=1∑nbi(x)uxi+c(x)u=f(x)(2)
其中，aij=aji,i,j=1,2,...,na^{ij}=a^{ji},i,j=1,2,...,naij=aji,i,j=1,2,...,n，且至少有一个aij≠0a^{ij} \not=0aij=0。

波动方程

关于函数u=u(x1,x2,...,xn,t)u=u(x_1,x_2,...,x_n,t)u=u(x1,x2,...,xn,t)的nnn维波动方程是
utt=a2Δu(3)u_{tt}=a^2\Delta u \tag 3 utt=a2Δu(3)
其中，a>0a>0a>0是常数。

热传导方程

当一个导热体的密度和比热都是常数时，其温度分布u(x,t)u(x,t)u(x,t)满足热传导方程：
ut=kΔu(4)u_t=k\Delta u \tag 4 ut=kΔu(4)
其中，k>0k>0k>0是常数。

Laplace方程

关于函数u(x1,x2,...,xn)u(x_1,x_2,...,x_n)u(x1,x2,...,xn)的nnn维Laplace方程是:
Δu=ux1x1+ux2x2+...+uxnxn=0(5)\Delta u=u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}+...+u_{x_nx_n}=0 \tag 5 Δu=ux1x1+ux2x2+...+uxnxn=0(5)
它的解称为调和函数或势函数。

极小曲面方程

我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极小曲面，它满足二阶拟线性方程：
(1+uy2)uxx−2uxuyuxy+(1+ux2)uyy=0(6)(1+u_y^2)u_{xx}-2u_xu_yu_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0 \tag 6 (1+uy2)uxx−2uxuyuxy+(1+ux2)uyy=0(6)

浅水波方程

三阶半线性方程的一个例子是KdVKdVKdV方程：
ut+cuux+uxxx=0(7)u_t+cuu_x+u_{xxx}=0 \tag 7 ut+cuux+uxxx=0(7)

Hamilton-Jacobi方程

全非线性一阶方程：
ut+H(Du,x)=0(8)u_t+H(Du,x)=0 \tag 8 ut+H(Du,x)=0(8)
其中，xxx是nnn元空间自变量，Du=(ux1,ux2,...,uxn)Du=(u_{x_1},u_{x_2},...,u_{x_n})Du=(ux1,ux2,...,uxn)，H(ξ,x)H(\xi,x)H(ξ,x)是其自变量的非线性函数。

Cauchy-Riemann方程

ux=vyuy=−vx(9)u_x = v_y \\ u_y = - v_x \tag 9 ux=vyuy=−vx(9)

叠加定理的实例

例：求PoissonPoissonPoisson方程：
Δu=x2+3xy+y2(10)\Delta u=x^2+3xy+y^2 \tag {10} Δu=x2+3xy+y2(10)
的通解。
解：
（1）先求出方程的一个特解u1(x,y)u_1(x,y)u1(x,y)，使满足：
Δu1=x2+3xy+y2\Delta u_1 = x^2+3xy+y^2 Δu1=x2+3xy+y2
由于方程是一个二元二次齐次多项式，可设u1u_1u1具有形式：
u1=ax4+bx3y+cy4u_1=ax^4+bx^3y+cy^4 u1=ax4+bx3y+cy4
其中，a,b,ca,b,ca,b,c是待定常数。把它代入方程，得：
Δu1=12ax2+6bxy+12cy2=x2+3xy+y2\Delta u_1 = 12ax^2+6bxy+12cy^2=x^2+3xy+y^2 Δu1=12ax2+6bxy+12cy2=x2+3xy+y2
比较两边的系数，得：
a=112,b=12,c=112a=\frac{1}{12},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{12} a=121,b=21,c=121
于是：
u1=112(x4+6x3y+y4)u_1=\frac{1}{12}(x^4+6x^3y+y^4) u1=121(x4+6x3y+y4)
（2）求函数v(x,y)v(x,y)v(x,y)，使满足Δv=0\Delta v =0Δv=0.
作变换ξ=x,η=iy\xi=x,\eta=iyξ=x,η=iy。得：
vξξ−vηη=0v_{\xi \xi}-v_{\eta \eta}=0 vξξ−vηη=0
再作变换s=ξ+η,t=ξ−ηs=\xi+\eta,t=\xi-\etas=ξ+η,t=ξ−η，方程进而化为：
vst=0v_{st}=0 vst=0
解得：
v=f(s)+g(t)=f(ξ+η)+g(ξ−η)=f(x+iy)+g(x−iy),v=f(s)+g(t) \\ =f(\xi+\eta)+g(\xi-\eta) \\ =f(x+iy)+g(x-iy), v=f(s)+g(t)=f(ξ+η)+g(ξ−η)=f(x+iy)+g(x−iy),
其中，f,gf,gf,g是任意的二次连续可微函数。
（3）根据叠加原理，Poisson方程的通解是：
u(x,y)=v+u1=f(x+iy)+g(x−iy)+112(x4+6x3y+y4)u(x,y)=v+u_1 \\ =f(x+iy)+g(x-iy)+\frac{1}{12}(x^4+6x^3y+y^4) u(x,y)=v+u1=f(x+iy)+g(x−iy)+121(x4+6x3y+y4)