定理

对于任意一个 nnn 维线性空间 V," role="presentation" style="position: relative;">V,V,V, 对于任意一个集合 S⊆V,S⊆V,S \subseteq V, 存在唯一的一个 VVV 的子空间 T," role="presentation" style="position: relative;">T,T,T, 使得：
1. S⊆T,S⊆T,S \subseteq T,
2. 对于任意一个 VVV 中的子空间 T′," role="presentation" style="position: relative;">T′,T′,T', 若 S⊆T′S⊆T′S \subseteq T' 则 T⊆T′T⊆T′T \subseteq T'

定义

定义该子空间 TTT 为由 S" role="presentation" style="position: relative;">SSS 生成的子空间，记为 [S][S][S] 。

证明

先证明存在性：
若 S=∅,S=∅,S = \emptyset, 则 T={0⃗ }T={0→}T = \{ \vec 0 \} 满足条件。
否则，从 SSS 中取一组线性无关的向量组 ξ1,⋯,ξm," role="presentation" style="position: relative;">ξ1,⋯,ξm,ξ1,⋯,ξm,\xi_1, \cdots, \xi_m, 使得 SSS 中任意一个向量都可由该向量组线性表示。则 L(ξ1,⋯,ξm)" role="presentation" style="position: relative;">L(ξ1,⋯,ξm)L(ξ1,⋯,ξm)L(\xi_1, \cdots, \xi_m) 满足条件。
再证明唯一性：
若存在两个 VVV 的子空间 T1,T2," role="presentation" style="position: relative;">T1,T2,T1,T2,T_1, T_2, 满足条件，则 T1⊆T2,T2⊆T1,T1⊆T2,T2⊆T1,T_1 \subseteq T_2, T_2 \subseteq T_1, 因此 T1=T2T1=T2T_1 = T_2 。

性质

对于任意 VVV 中的任意两个子空间 U,W⊆V,[U∪W]=U+W" role="presentation" style="position: relative;">U,W⊆V,[U∪W]=U+WU,W⊆V,[U∪W]=U+WU, W \subseteq V, [U \cup W] = U + W

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由线性空间V中的集合生成的子空间

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证明

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