1258：【例9.2】数字金字塔

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【题目描述】

观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。

【输入】

第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

【输出】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】

5

13

11 8

12 7 26

6 14 15 8

12 7 13 24 11

【输出样例】

86

【动态规划基础】数字金字塔

经典的动态规划水题

方法一：贪心

题目里说了，从上往下走，要求出路径的最大值，那么我最先想到的方法就是——

你每次都走最大的一边就可以了啊。

就像这样：

但是，如果你是一个善于造数据来验证你的算法的人，你很快就会发现自己算法的问题，就像这样：

1

2 1

1 2 9

1 2 8 9

3 3 2 9 9

在这一组数据中，如果使用贪心算法，就会一开始就左边，从而错失下面全是9的右边。

也就是说，贪心算法看得太近了，没有顾全大局。

方法二：搜索 & 记忆化搜索

像我这样的暴力型选手，碰见什么题都要用搜索写一遍。可以对拍不说，写不出来的时候，还可以骗分。

#include

using namespacestd;int jzt[1005][1005], maxn, summ, n;void dfs(int i, intj){if(i==n){

maxn=maxn>summ?maxn:summ;

}else{

summ+=jzt[i+1][j];

dfs(i+1, j);

summ-=jzt[i+1][j];

summ+=jzt[i+1][j+1];

dfs(i+1, j+1);

summ-=jzt[i+1][j+1];

}

}intmain(){

scanf("%d", &n);for(int i=0; i

scanf("%d", &jzt[i][j]);

}

}

dfs(0, 0);

printf("%d", maxn+jzt[0][0]);return 0;

}

T了。。

但是没关系，我们还有搜索优化利器：记忆化。

通过观察与推理，我们会发现，中间的这些点到底端的最优解会被重复计算，所以我们要把这些状态记忆下来，四舍五入约等于全部记下来(其实是我懒得做特判)。。

#include

using namespacestd;int n, bz[1005][1005], jzt[1005][1005];int dfs(int x, inty){if(x==n-1) returnjzt[x][y];else{if(bz[x][y]) returnjzt[x][y];else{

bz[x][y]=1;

jzt[x][y]+=max(dfs(x+1, y), dfs(x+1, y+1));returnjzt[x][y];

}

}

}intmain(){

scanf("%d", &n);for(int i=0; i

scanf("%d", &jzt[i][j]);

}

}

printf("%d", dfs(0, 0));return 0;

}

这次，就成功地AC了，不得不感叹记忆化的强大。其实记忆化搜索的用时就已经相当于动态规划了(这也是为什么我把搜索学好后才学动态规划)。。

方法三：动态规划(递推)

现在，想象一下，通过某些神奇的算法，你已经成功走到了倒数第二行的某一个位置，那么下一步应该怎么走呢？

很明显，只要走最大的那个就可以了。因为这里只有最后一步了，局部最优解就等于全局最优解。

但事实是，你并不知道这个神奇的算法。。。所以你还是不知道你会走到倒数第二行的哪个位置。

但是，无论如何，你最终都会走到倒数第二行的n-1个点之一。那么我们就把到任意一个点的全局最优解求出来吧。

那么知道了倒数第二行怎么走，那么我们就再进一步吧。

通过某些神奇的算法，你已经成功走到了 n-2 行(倒数第三行)的某一个位置，那么下一步应该怎么走呢？

这时，我们就不能通过单纯的比大小来决定了。

但是，我们通过上一步的计算，已经知道了走到 n-1 行的最优解，而且，我们也可以算出来走到 n-1 行某一个位置之后走到的点的和(这里指之前算出的最优解)。

那么问题就很简单了，只需要走这个值最大的一边就可以了。

重复这个过程。。。

最后：

通过某些神奇的算法，你已经成功走到了第 1 行的某一个位置，那么下一步应该怎么走呢？

显然，我们已经知道了下一步该怎么走，，而且这时，我们就可以考虑这个“神奇的算法”了。

由于第一行只有一个数，所以我们可以肯定的是，我们走到的一定是这个位置。

最后，再算出第一步该怎么走时，你就算出了这个最优路径。

代码：

#include

using namespacestd;int n, a[1005][1005];intmain(){

cin>>n;for(int i=0; i

cin>>a[i][j];

}

}for(int i=n-2; i>=0; i--){for(int j=0; j<=i; j++){

a[i][j]+= max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]);

}

}

cout<< a[0][0];return 0;

}