数学归纳法与算法设计

归纳法其实是先提出一个问题或语句 P(n)P(n)，再来证明其对任何自然数 nn 都成立，例如，我们要考察的是前 nn 个奇数之和，那么其 P(n)P(n) 可能会是以下这条语句：

1+3+5+⋯+(2n−1)=n2

1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2
归纳法的思路是建立起一条涵盖所有自然数的“扫描式”证据链（推导链），该过程有点类似于一排多米诺骨牌倒下时的情况。 P(1)P(1) 是显然的，然后我们需证明接下来的每块骨牌都是如此，即如果之前的倒下了，那么下一块一会随之倒下。

也即我们要证明如下的隐含关系：

P(n−1)⇒P(n)

P(n-1)⇒ P(n)
该结果就能贯穿于 nn 的所有值（在 P(n−1)P(n-1) 成立的前提下，是否 P(n)P(n) 成立），如果成立，则得证。

P(n−1)=(n−1)2⇓P(n)=P(n−1)+(2n−1)=n2

P(n-1)=(n-1)^2\\ \Downarrow\\ P(n)=P(n-1)+(2n-1)=n^2
如此一来，归纳步骤就建立起来了，我们现在就可以确定将该公式适用于所有自然数了。

经典案例

1. 二叉树的内部节点

一棵带根节点的二叉树，也即内部的每个节点（internal node）都应该有两个子节点，当然由于它并不需要是完全平衡的，其叶子节点可以有不同的深度，请用数学归纳法证明，如果一棵树有 nn 个叶子节点（leaf node），其应该有 n−1n-1 个内部节点。

P(n)=n−1

P(n)=n-1
数学归纳法 P(n−1)=n−2P(n-1)=n-2 成立的前提下，证明 P(n)=n−1P(n) = n-1。
由一棵二叉树的结构可知，想要增加一个叶子节点，我们需要在当前的二叉树下的某个叶子节点增加两个分支，使其变为一个内部节点，也即想要增加一个叶子，增加一个内部节点。

P(n−1)=n−2⇓P((n−1)+1)=(n−2)+1=n−1

P(n-1)=n-2\\ \Downarrow\\ P((n-1)+1)=(n-2)+1=n-1

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