POJ1459-Power Network
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提示:BFS找增广链 + 压入重标法
解题思路:
多源多汇最大流问题
题目给出很多都是废话,特别是符号s(u),d(u),Con还有那条公式都别管,混淆视听
难点在于构图
电站p(u)均为源点,用户c(u)均为汇点,中转站当普通点处理
第一个误区是例图, 结点 和 边 都有x/y(流量和容量),这个很容易使人产生矛盾(因为学习最大流问题是,只有 边 才有流量和容量。
但是不难发现,题目所给的例图中有多个源点,多个汇点,多个普通点,只有源点和汇点才标有 x/y,普通点没有标x/y,而且所给出的所有边都有x/y。 这无疑在促使我们对图做一个变形: 建议一个超级源s,一个超级汇t,使s指向所有源点,并把源点的 容量y 分别作为这些边的 容量,使所有汇点指向t,并把汇点的容量y分别作为这些边的 容量,然后本来是源点和汇点的点,全部变为普通点。这样就把“多源多汇最大流”变形为“单源单汇最大流”问题。
第二个误区就是流量值。 学习最大流问题时,会发现边上的流量值是给定初始值的,但是这题的输入只有容量,没有流量,很多人马上感觉到无从入手。其实边上的流量初始值为多少都没有所谓,解最大流需要用到的只有容量。但是一般为了方便起见, 会把所有边的流量初始化为0。这样做有一个最大的好处,就是可以回避 反向弧 的存在,这个下面详细叙述。
本题中要注意的是:
1、 如果输入中,某一点上有环,就无视掉。环是否存在不影响最终结果。
2、 一般两点之间都是单边,一旦存在双边也没有问题,因为由定义知两个方向的容量一定相等(其实不相等也无妨,因为其中有一条为 反向弧,前面已经提到 反向弧 是可以直接回避、无视的,因此反向弧上的容量为多少就不重要了),而且在寻找增广路的标号过程中,搜索的是未标号的点,就是说(u,v)这条弧即使是双向的,但一旦从u到达v后,就不能回头了,因为两者都被标记了,即另外一条弧就不起任何作用了。
下面详细说说为什么能够回避反向弧。
首先需要明确,任意一个点j上记录的信息有:
1、 寻找增光路时,除超级源s外,增广路上任一点j都有一个唯一的前驱i(i被记录在j)
2、 min{从i到j的容流差,l(vi)}
3、 构图时,除超级汇t外,图上任一点j都会直接指向一些点(这些点作为后继点,同在记录在j)
从这个特点可以知道,从超级源开始寻找增广路时,万一遇到双向边,正向弧,反向弧自动被回避。万一遇到单向边,如果是非饱和正向弧,就会继续走下去;如果是反向弧,这条弧必然是 零弧(每条边初始化流量均为0),定义知如果增广路有反向弧,它必须要是非零弧,而且由于反向弧每次都不会经过,所以在改进增广路时反向弧上的流量也不会被改变,永远为0,也就与最终结果无关了
最后当无法寻找增广路时,最大流就是与超级源s直接关联的边上的 流量之和
1 /*BFS+压入重标法*/ 2 3 4 //Memory Time 5 //384K 860MS 6 7 #include<iostream> 8 using namespace std; 9 10 const int inf=10001; 11 12 int n; //总节点数 13 int np; //电站数 14 int nc; //用户数 15 int line; //线路数 16 int cap[102][102]; //弧(u,v)的容量 17 int flow[102][102]; //弧(u,v)的流量 18 bool vist[102]; //标记点v是否已标号 19 int s,t; //超级源,超级汇 20 21 class info //当前点v的标记信息 22 { 23 public: 24 int pre; //当前点v的前驱u 25 int lv; //l(v) 26 int nei[101]; //当前结点直接指向的邻居结点 27 int pn; //邻居结点的指针 28 }node[102]; 29 30 int min(int a,int b) 31 { 32 return a<b?a:b; 33 } 34 35 void back(void) 36 { 37 int x=t; 38 while(x!=s) 39 { 40 flow[ node[x].pre ][x] += node[t].lv; //改进增广路 41 x=node[x].pre; 42 43 } 44 return; 45 } 46 47 bool bfs(void) 48 { 49 memset(vist,false,sizeof(vist)); 50 node[s].pre=-1; 51 node[s].lv=inf; 52 vist[s]=true; 53 54 int queue[102]; 55 int head=0; 56 int tail=0; 57 queue[tail++]=s; 58 59 while(head<=tail-1) //注意,这是再也找不到增广路的结束条件 60 { 61 int x=queue[head]; 62 int y; 63 for(int i=0;i<node[x].pn;i++) 64 { 65 y=node[x].nei[i]; 66 if(!vist[y] && flow[x][y]<cap[x][y]) //搜索的目标要求是 未标记 & 非饱和弧 67 { 68 queue[tail++]=y; 69 70 vist[y]=true; 71 node[y].pre=x; 72 node[y].lv=min( node[x].lv , cap[x][y]-flow[x][y] ); 73 } 74 if(vist[t]) //当超级汇被标记 75 break; 76 } 77 if(!vist[t]) 78 head++; 79 else 80 return true; //搜索到一条增广路 81 } 82 return false; 83 } 84 85 int main(int i,int j,int u,int v,int z,char temp) 86 { 87 while(cin>>n>>np>>nc>>line) 88 { 89 /*Initial*/ 90 91 s=n; 92 t=n+1; 93 for(i=0;i<n+1;i++) 94 node[i].pn=0; 95 96 /*Input & Structure Maps*/ 97 98 for(i=1;i<=line;i++) 99 {100 cin>>temp>>u>>temp>>v>>temp>>z;101 if(u==v)102 continue; //不需要环103 cap[u][v]=z;104 flow[u][v]=0; //每条边的流量都初始化为0105 node[u].nei[ node[u].pn++ ]=v;106 }107 for(i=1;i<=np;i++)108 {109 cin>>temp>>v>>temp>>z;110 cap[s][v]=z; //建立超级源,指向所有电站111 flow[s][v]=0;112 node[s].nei[ node[s].pn++ ]=v;113 }114 for(i=1;i<=nc;i++)115 {116 cin>>temp>>u>>temp>>z;117 cap[u][t]=z; //建立超级汇,被所有用户指向118 flow[u][t]=0;119 node[u].nei[ node[u].pn++ ]=t;120 }121 122 /*标号法找增广轨*/123 124 while(true)125 {126 if(bfs()) //如果能搜到到增广路127 back(); //从超级汇开始回溯,改进增广路128 else129 {130 int max=0; //输出最大流131 for(i=0;i<node[s].pn;i++)132 max+=flow[s][ node[s].nei[i] ];133 cout<<max<<endl;134 break;135 }136 }137 }138 return 0;139 }
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