数据结构课上笔记10
树
树的定义:树(Tree)是 n(n≥0)个结点的有限集。若 n=0,称为空树;若 n > 0,则它满足如下两个条件:
(1) 有且仅有一个特定的称为根 (Root) 的结点;
(2) 其余结点可分为 m (m≥0) 个互不相交的有限集 T1, T2, T3, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树,并称为根的子树 (SubTree)。
显然,树的定义是一个递归的定义。
树的一些术语:
- 结点的度(Degree):结点的子树个数;
- 树的度:树的所有结点中最大的度数;
- 叶结点(Leaf):度为0的结点;
- 父结点(Parent):有子树的结点是其子树的根节点的父结点;
- 子结点/孩子结点(Child):若A结点是B结点的父结点,则称B结点是A结点的子结点;
- 兄弟结点(Sibling):具有同一个父结点的各结点彼此是兄弟结点;
- 路径和路径长度:从结点n1到nk的路径为一个结点序列n1,n2,...,nk。ni是ni+1的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度;
- 祖先结点(Ancestor):沿树根到某一结点路径上的所有结点都是这个结点的祖先结点;
- 子孙结点(Descendant):某一结点的子树中的所有结点是这个结点的子孙;
- 结点的层次(Level):规定根结点在1层,其他任一结点的层数是其父结点的层数加1;
- 树的深度(Depth):树中所有结点中的最大层次是这棵树的深度;
将树中节点的各子树看成从左至右是有次序的(即不能互换),则称为该树是有序树,否则称为无序树。
森林(forest)是 m (m≥0) 棵互不相交的树的集合。
二叉树
在计算机科学中,二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。
虽然二叉树与树概念不同,但有关树的基本术语对二叉树都适用。
二叉树结点的子树要区分左子树和右子树,即使只有一 棵子树也要进行区分,说明它是左子树,还是右子树。树当 结点只有一个孩子时,就无须区分它是左还是右。
注意:尽管二叉树与树有许多相似之处,但二叉树不是树的特殊情形。
一些性质:
在二叉树的第 i 层上至多有 个结点 (i ≥1)。
证明:每个节点至多两个孩子,每一层至多比上一层多一倍的结点,根为1.
深度为 k 的二叉树至多有 个结点(k ≥1)。
证明:把每一层最大节点加起来即可
对任何一棵二叉树 T,如果其叶子数为 n0,度为 2的结点数为 n2,则 n0 = n2 + 1。
证明:对于一个只有根的树,n0 = n2 + 1成立。1=0+1
我们把一个叶子节点换成度为2的结点:
黑色节点原来为叶子节点
我们发现,度为2的结点数加1(黑色节点);叶子节点数加1(原来的去掉,新增两个);对于式子n0 = n2 + 1没影响,还是成立。
我们把叶子节点换成度为1的结点,比如没有右孩子。
我们发现,度为2的结点数没变。叶子节点数没变(减了一个加了一个)
所以,不管你怎么换,公式都成立。(佛系证明)
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