Count on a Treap

题目来源

Codechef Feb 2014 COT5
https://www.codechef.com/problems/COT5

问题提出

什么是Treap

是一颗二叉搜索树,每个节点拥有keykeykey属性.
是一颗堆,每个节点拥有weightweightweight属性

问题

nnn次操作,三种类型,要求维护"大根Treap"
- (0,k,w)(0,k,w)(0,k,w) ,插入keykeykey为k,weightk,weightk,weight为www的点.
- (1,k)(1,k)(1,k),删除keykeykey为kkk的点
- (2,ku,kv)(2,k_u,k_v)(2,ku,kv),询问keykeykey为ku,kvk_u,k_vku,kv的两点在TreapTreapTreap中的距离.

保证keykeykey,weightweightweight均不相同.

问题解答

dist(u,v)=dep(u)+dep(v)−2∗dep(lca)dist(u,v) = dep(u) + dep(v) - 2* dep(lca)dist(u,v)=dep(u)+dep(v)−2∗dep(lca)

我们以keykeykey为下标,将这个树按中序遍历展开.

显然[ku,kv][k_u,k_v][ku,kv]之间最大的weightweightweight最大的点就是两点的lcalcalca.

证明:首先lcalcalca一定在区间[ku,kv][k_u,k_v][ku,kv]之间,不然ku,kvk_u,k_vku,kv将位于lcalcalca的同一侧,这不可能.其次权重最大的点一定是这颗子树的根节点,这个点一定是祖先,如果它不是lcalcalca的话,那么它的keykeykey将大于或小于lcalcalca形成的子树中所有的点的keykeykey,也就是说它不在区间[ku,kv][k_u,k_v][ku,kv]之间,矛盾.

至此,用线段树可以轻松维护lcalcalca.

那么如何维护一个点在树上的深度呢?

根据Treap的特殊性质,我们知道每个点的weightweightweight一定小于他父亲的weightweightweight.

从这个点到根节点的祖先链上的weightweightweight是不断递增的.

这里有一个非常特殊的性质,在序列上就是从这个点往两侧各找一个直接的递增子序列,那么序列上的点都是他的祖先.

这个性质基于这样一个事实:每个点左右两侧的第一个大于它weightweightweight的点,都是这个点的一个祖先.因为其中一个点是它的父亲,而另一个点…自己画图观察一下就好了.

因此两个递增序列的长度和就是它到根的距离.

如何维护某一个点向右的直接递增序列呢.也是使用线段树,参考我的另一篇博客,楼房重建.

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