C++ 每日一题13：数字金字塔
每日一题13：数字金字塔
题目描述
观察如下数字金字塔。请写一个程序查找从最高点到底部任意点(数字金字塔共有，
行)结束的路径，使路径经过数字的和最大，每一步只能走到左下方的点或右下方的点。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
在如上样例中，7→3→8→7→5的路径产生了所有路径中最大的和7+3+8+7+5=30。
输入格式
第1行输入，表示行数。
之后每行为数字金字塔特定行包含的整数(所有数非负且不大于100)。
输出格式
一行，路径产生的最大的和。
分析
方法1
直接搜索。设二维数组存放数字金字塔中的每个整数，
存放最终结果即最大的和。问题要求从最高点按照规则走到最低点的路径的最大权值和，路径起终点固定，走法规则明确，可考虑使用搜索解决问题。
定义无返回类型递归函数
，其中
，
表示当前已从
走到
，目前已走路径上的权值和为
。
当时，到达递归出口，如果
，则把
更新为
。当
时，未到达递归出口，则向下一行两个位置行走，即递归执行
和
。
方法1实际上把所有路径都走了一边，由于每一条路径由步组成，每一步有左右两种选择，因此路径总数为
，时间复杂度为
，
太大会超时。
方法2
方法1之所以会超时，是因为进行了重复搜索。当多次来到同一点时，可以直接调用来到这一点时的路径权值和，避免重复搜索。该方法称为记忆化搜索。
定义
表示从
出发到终点的路径最大权值和，所以
为所求答案。计算
时考虑第一步是向左还是向右，就把所有路径分成两大类。
第一步向左的路径：从出发到终点的这类路径就被分成两个部分，先从
到
，要使得这种情况的路径权值和最大，第二部分从
到终点的路径权值和也要最大，所以这一部分可以表示成
。综上所述，第一步向左的路径最大权值和为
。
第一步向右的路径：从出发到终点的这类路径就被分成两个部分，先从
到
，要使得这种情况的路径权值和最大，第二部分从
到终点的路径权值和也要最大，所以这一部分可以表示成
。综上所述，第一步向左的路径最大权值和为
。分析方法与如上分类同理。
同样为了避免重复搜索，开设全局数组记录从每个点出发到终点路径的最大权值和，一开始全部初始化为-1表示未被计算过(即未到达过这一点)。在计算
时，首先查询
，如果
，说明
之前已被计算过，直接返回
即可，否则计算出
的值并存储在
中，以便下次调用。
由于对于每个合法的
都计算且仅计算过一次，而且是在
内完成的，因此时间复杂度为
，不超时。
方法3
方法3使用动态规划完成。方法2的记忆化搜索本质上与动态规划高度相似。
确定状态
题目要求从出发到底层路径的最大权值和，路径是由各个点串联而成，路径起点固定，终点和中间点相对不固定。因此定义
表示从
出发到达
的路径最大权值和，并设
······
。
确定状态转移方程和边界条件
不考虑到
的每一步是如何走的，只考虑最后一步是如何走的，根据最后一步是向左还是向右分成如下两种情况：
最后一步向左的路径：最后一步是从到
，此类路径被分割成两部分，第一部分是从
走到
，第二部分是从
走到
，要计算此类路径的最大权值和，必须用到第一部分的最大权值和，此部分问题的性质与
一样，就是
，第二部分就是
。两部分相加即得到此类路径的最大权值和为
。
最后一步向右的路径： 最后一步是从到
，此类路径被分割成两部分，第一部分是从
走到
，第二部分是从
走到
，要计算此类路径的最大权值和，必须用到第一部分的最大权值和，此部分问题的性质与
一样，
就是
，第二部分就是
。两部分相加即得到此类路径的最大权值和为
。
的计算需要求出如上两种情况的最大值。综上所述，得到状态转移方程为
。
与递归关系式需要终止条件一样，这里也需要对边界进行处理防止无限递归。计算时需要用到
和
，随着递归的深入，最终都要用到
，
的计算不可再用状态转移方程，而是应直接赋予一个特值
。
所以根据上述得到边界条件为。
现在分析一下此动态规划的正确性，分析该解法是否满足使用动态规划的两个前提：
最优化原理：这个在分析状态转移方程时已经较为透彻，明显符合最优化原理。
无后效性：状态转移方程中，只会关心和
的值，计算
或
时可能有多种不同的决策对应着最优值，选哪种决策对计算
的决策没有影响，符合无后效性。
实现
由于状态转移方程就是递归关系式，边界条件就是递归终止条件，所以可以用递归来完成。递归存在重复调用，利用记忆化搜索可以解决这一点。记忆化搜索实现比较简单，且不会计算无用状态，但递归也会受到"栈的大小"和"递推+回归执行方式"的约束，另外记忆化实现调用状态的顺序是按照实际需求展开，没有大局规划，不利于进一步优化。
一种迭代法与分析边界条件相类似，计算用到状态
和
，这两个元素都在
的上一行。也就是说，要计算第
行的状态的值，必须先把第
行的状态的值计算出来，再利用状态转移方程。可以先把
赋值为
，再从第2行开始按照行递增的顺序计算出每一行的有效状态。
对于题目所给样例，计算的结果如下表所示：
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 7 | / | / | / | / |
| 2 | 10 | 15 | / | / | / |
| 3 | 18 | 16 | 15 | / | / |
| 4 | 20 | 25 | 20 | 19 | / |
| 5 | 24 | 30 | 27 | 26 | 24 |
该动态规划时间复杂度为，不会超时。
代码
方法1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005][1005],n,ans;
void dfs(int x,int y,int cur){if(x==n){ans=max(ans,cur);return;}dfs(x+1,y,cur+a[x+1][y]);dfs(x+1,y+1,cur+a[x+1][y+1]);
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)cin>>a[i][j];dfs(1,1,a[1][1]);cout<<ans;return 0;
}方法2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005][1005],f[1005][1005],n;
int dfs(int x,int y){if(f[x][y]==-1)f[x][y]=(x==n?a[x][y]:a[x][y]+max(dfs(x+1,y),dfs(x+1,y+1)));return f[x][y];
}
int main(){memset(f,-1,sizeof(f));cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)cin>>a[i][j];dfs(1,1);cout<<f[1][1];return 0;
}方法3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005][1005],f[1005][1005],n,ans;
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)cin>>a[i][j];f[1][1]=a[1][1];for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)f[i][j]=a[i][j]+max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]);for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[n][i]);cout<<ans;return 0;
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