[电路]17-最大功率传输定理

2024-04-24 11:52:59

文章目录

1 工程意义
2 公式推导
3 特殊说明

1 工程意义

一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。

2 公式推导

如图所示， UsU_sUs 为电压源电压，RsR_sRs 为电源的内阻，RLR_LRL 是负载。

假设电路中流过的电流为 ILI_LIL，则负载 RLR_LRL 所获得的的功率 PLP_LPL 为：
PL=IL2RL=(UsRs+RL)2RL=Us2Rs+RL⋅RLRs+RLP_L = I_L^2 R_L=(\frac {U_s}{R_s+R_L})^2 R_L=\frac {U_s^2}{R_s+R_L}\cdot \frac {R_L}{R_s+R_L}PL=IL2RL=(Rs+RLUs)2RL=Rs+RLUs2⋅Rs+RLRL将上式进行拆分，规定 PSP_SPS 为电源发出的功率，η\etaη 为传输效率，则：
{PS=Us2Rs+RLη=RLRs+RL\begin{cases}P_S=\frac {U_s^2}{R_s+R_L} \\ \eta = \frac {R_L}{R_s+R_L}\end{cases}{PS=Rs+RLUs2η=Rs+RLRL将 RLR_LRL 看为变量，则 PLP_LPL 随着 RLR_LRL 值的变化而变化，函数 PLP_LPL 对变量 RLR_LRL 进行求导，在导数为 0 处可以获得最大功率。
dPLdRL=Us2(Rs+RL)2−2⋅Us2RL⋅(Rs+RL)(Rs+RL)4=Us2[(Rs+RL)2−2⋅RL⋅(Rs+RL)(Rs+RL)4]=0\frac {{\rm d}P_L}{{\rm d}R_L} = \frac {U_s^2(R_s+R_L)^2-2\cdot U_s^2R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4} =U_s^2[\frac{(R_s+R_L)^2-2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4}]=0dRLdPL=(Rs+RL)4Us2(Rs+RL)2−2⋅Us2RL⋅(Rs+RL)=Us2[(Rs+RL)4(Rs+RL)2−2⋅RL⋅(Rs+RL)]=0求解上式，可得到如下表达式：
(Rs+RL)2=2⋅RL⋅(Rs+RL)(R_s+R_L)^2=2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L)(Rs+RL)2=2⋅RL⋅(Rs+RL)解得：
RL=RsR_L=R_sRL=RsRLR_LRL 所获得的的最大功率为：
PLmax=Us2Rs(2Rs)2=Us24RsP_{L \ \rm max}=\frac {U_s^2R_s}{(2R_s)^2}=\frac {U_s^2}{4R_s}PL max=(2Rs)2Us2Rs=4RsUs2
综上，当负载电阻 RL=RsR_L=R_sRL=Rs 时，负载可以获得最大功率，这种情况称为 RLR_LRL 与 RsR_sRs 匹配。

3 特殊说明

最大功率传输定理用于一端口电路给定负载电阻可调的情况。
一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时，电路的传输效率并不一定是50%。
计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。

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