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大角度单摆运动的计算机模拟

2006 年 6 月重庆文理学院学报 ( 自然科学版) Jun , 2006

第 5 卷　第 2 期 Journal of Chongqing University of Arts and Sciences (Nature Sciences Edition) Vol5 　No2

大角度单摆运动的计算机模拟

龙晓霞

(重庆文理学院　物理与信息工程系 ,重庆　永川　402160)

[摘　要]大角度单摆问题属于非线性问题 ,很难用解析的方法求其运动. 本文利用 MATLAB

软件对大角度单摆在无阻力无驱动、有阻力无驱动、有阻力有驱动 3 种情况下的运动进行了计

算机模拟 ,并对运动情况进行了分析.

[ 关键词]单摆 ;计算机模拟 ;MATLAB

( )

[ 中图分类号]O4 - 39 　[ 文献标识码]A 　[ 文章编号] 1671 - 7538 2006 02 - 0028 - 04

1 　引言

MATLAB 数学软件是欧美十分流行的通用性很强的数学软件 , 占据了数学软件市场的主导地位.

它可以对非线性微分方程进行数值求解.

当单摆的摆角小于 5°的时候 ,单摆的运动微分方程为线性方程 ,可以解析求解. 但当单摆做大摆

角运动时 ,其运动微分方程为非线性方程 ,很难用解析的方法讨论其运动. 利用MATLAB软件可以对单

摆运动进行数值求解 ,模拟不同情况下大角度单摆的运动 ,其结果非常直观、形象.

2 　大角度单摆运动的模拟

2 . 1 　大角度单摆的运动微分方程

单摆在做大摆角运动的情况下 ,考虑到空气阻力和驱动力的影响 ,其运动微分方程为[ 1] :

d2 θ 2 d θ

ω θ

2 + sin + 2 b = f cosp t

d t d t

2 g

其中 , b 为阻尼因数 , 由阻力大小决定 ,f 和p 由驱动力决定 ,ω = 由系统本身决定.

2 . 2 　无阻力、无驱动下大角度单摆的运动

2 . 2 . 1 　微分方程

根据大角度单摆的运动微分方程 ,在无阻力无驱动时 ,

也就是 b = 0 和f = 0 时 ,其运动微分方程为 :

d2 θ 2

2 + ωsin θ= 0

d t

2 . 2 . 2 　相图及其分析

由图 1 可以看出:

( ) π π

1 E < 2 mgl 时 , 摆锤在 - - 的势阱中作周期运

动 ,其相轨迹为一闭合曲线.

( ) θ

2 E > 2 mgl 时 ,摆锤在势场中作定向运动 ,且可以

图 1

趋向 ±∞,其相轨迹为两条不相交的曲线 ,对应两个不同的

[ 收稿日期] 2005 - 09 - 27

[ 作者简介]

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