本章体系

基础知识

1. 二次型

例题1：已知多项式，转换为二次型，需要修改矩阵为对称阵

2. 二次型的标准型：目标-不含交叉项

定理一：二次型的转化

例题1：先把一个变量相关的进行配方

例题2：二次型中不存在平方项，需要自己先设出来

3. 二次型的规范型——惯性指数

4. 在可逆矩阵定义下的坐标变换

5. 矩阵合同：具有传递性

相似和合同都是可逆矩阵，合同对应的是可逆矩阵的转置，相似对应的是可逆矩阵本身。

定理一：合同变换转换二次型的矩阵

定理二：实对称矩阵的合同

例题1：实对称矩阵的合同、正交变换

相似矩阵有相同的特征值、有相同的迹

例题2：求正交变换即是求规范正交后的特征向量

6. 正定二次型、正定矩阵

定理一：坐标变换不影响惯性指数

定理二：实对称矩阵的二次型

定理三：正定二次型的充分必要条件

推论：正定的必要条件

例题1：定义法证明矩阵正定

例题2：正定——顺序主子式>0——矩阵可逆

7. 矩阵的几个关系：等价、相似、合同

例题1：如何证明合同？

例题2：证明不合同

例题3：综合判断三者

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定理二：实对称矩阵的合同

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例题2：求正交变换即是求规范正交后的特征向量

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定理三：正定二次型的充分必要条件

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