抽象代数 04.08 自由幺半群与自由群

§4.8 自由幺半群与自由群{\color{blue}{\text{\S 4.8 自由幺半群与自由群}}}§4.8 自由幺半群与自由群

自由幺半群与自由群的思想不仅在群论中，而且在其它数学分支中都是重要的。
设X={a1,a2,⋯ ,an}是一个集合，称X中任一有限长度的序列设X=\lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n \rbrace是一个集合，称X中任一有限长度的序列设X={a1,a2,⋯,an}是一个集合，称X中任一有限长度的序列
x1x2⋯xi(x1,x2,⋯ ,xi∈X)\qquad x_1x_2 \cdots x_i(x_1,x_2,\cdots,x_i \in X)x1x2⋯xi(x1,x2,⋯,xi∈X)
为一个字.当i=0时,称为空字,记为∧.记所有字的集合为X~.在X~上定义乘法为一个{\color{blue}字}.当i = 0时,称为{\color{blue}空字},记为\land.记所有字的集合为\tilde{X}.在\tilde{X}上定义乘法为一个字.当i=0时,称为空字,记为∧.记所有字的集合为X~.在X~上定义乘法
(x1x2⋯xi)(y1y2⋯yj)=x1x2⋯xiy1y2⋯yj\qquad (x_1x_2\cdots x_i)(y_1y_2\cdots y_j)=x_1x_2\cdots x_iy_1y_2\cdots y_j(x1x2⋯xi)(y1y2⋯yj)=x1x2⋯xiy1y2⋯yj
显然X~对此乘法是以∧为幺元的幺半群。这个幺半群称为由X生成的自由幺半群.显然\tilde{X}对此乘法是以\land为幺元的幺半群。这个幺半群称为由X生成的{\color{blue}自由幺半群}.显然X~对此乘法是以∧为幺元的幺半群。这个幺半群称为由X生成的自由幺半群.
定理4.8.1.设集合X非空,S是幺半群,f是X到S的映射.则存在唯一的X~到S的同态ϕ,使{\color{blue}定理4.8.1.}设集合X非空,S是幺半群,f是X到S的映射.则存在唯一的\tilde{X}到S的同态\phi,使定理4.8.1.设集合X非空,S是幺半群,f是X到S的映射.则存在唯一的X~到S的同态ϕ,使
ϕ(x)=f(x),∀x∈X.\qquad \phi(x) = f(x), \forall x \in X.ϕ(x)=f(x),∀x∈X.
证定义X~到S的映射ϕ:ϕ(∧)=e,e为S的幺元.{\color{blue}证}定义\tilde{X}到S的映射\phi:\phi(\land)=e,e为S的幺元.证定义X~到S的映射ϕ:ϕ(∧)=e,e为S的幺元.
ϕ(x1x2⋯xi)=f(x1)f(x2)⋯f(xi),则ϕ显然为同态.\phi(x_1x_2\cdots x_i)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_i),则\phi显然为同态.ϕ(x1x2⋯xi)=f(x1)f(x2)⋯f(xi),则ϕ显然为同态.
若ψ为X~到S的同态,且ψ(x)=f(x),则若\psi为\tilde{X}到S的同态,且\psi(x)=f(x),则若ψ为X~到S的同态,且ψ(x)=f(x),则
ψ(x1x2⋯xi)=ψ(x1)ψ(x2)⋯ψ(xi)\quad \psi(x_1x_2\cdots x_i) = \psi(x_1)\psi(x_2)\cdots \psi(x_i)ψ(x1x2⋯xi)=ψ(x1)ψ(x2)⋯ψ(xi)
=f(x1)f(x2)⋯f(xi)=ϕ(x1x2⋯xi).\quad = f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_i) = \phi(x_1x_2\cdots x_i).=f(x1)f(x2)⋯f(xi)=ϕ(x1x2⋯xi).
即ϕ唯一.即\phi唯一.即ϕ唯一.
设集合X={a1,a2,⋯ ,an},再令集合X′={a1′,a2′,⋯ ,an′},X∩X′=∅.设集合X = \lbrace a_1, a_2, \cdots, a_n \rbrace,再令集合X^{\prime}=\lbrace a_1^{\prime},a_2^{\prime},\cdots,a_n^{\prime} \rbrace, X \cap X^{\prime}=\empty.设集合X={a1,a2,⋯,an},再令集合X′={a1′,a2′,⋯,an′},X∩X′=∅.
又ai→ai′是X到X′上的一一对应.令X∗=X∪X′,设有x∈X∗,我们定义x′:又a_i \to a_i^{\prime}是X到X^{\prime}上的一一对应.令X^{*}=X \cup X^{\prime},设有x \in X^{*},我们定义x^{\prime}:又ai→ai′是X到X′上的一一对应.令X∗=X∪X′,设有x∈X∗,我们定义x′:
x′={ai,当x=ai′;ai′,当x=ai.(1)\quad x^{\prime}= \left \{ \begin{array}{l}a_i, 当x = a_i^{\prime}; \\ a_i^{\prime}, 当x = a_i. \end{array} \right. (1)x′={ai,当x=ai′;ai′,当x=ai.(1)
并且记X∗生成的自由幺半群为X∗~.并且记X^{*}生成的自由幺半群为\tilde{X^{*}}.并且记X∗生成的自由幺半群为X∗~.
设w1,w2∈X∗~,且∃g,h∈X∗~,x∈X∗~使w1=gh,w2=gxx′h,设w_1,w_2 \in \tilde{X^{*}},且\exists g, h \in \tilde{X^{*}},x \in \tilde{X^{*}}使w_1 = gh, w_2 = gxx^{\prime}h,设w1,w2∈X∗~,且∃g,h∈X∗~,x∈X∗~使w1=gh,w2=gxx′h,
或w1=gxx′h,w2=gh,则称w1与w2是相邻的。或w_1=gxx^{\prime}h,w_2=gh,则称w_1与w_2是{\color{blue}相邻的}。或w1=gxx′h,w2=gh,则称w1与w2是相邻的。
定理4.8.2.X∗~如上所述,在X∗~中定义关系∼:w1∼w2,w1,w2∈X∗~且存在X∗~中序列w1=v1,v2,⋯ ,vl=w2,满足vi与vi+1相邻,则∼是同余关系,且X∗~对于∼的商幺半群X∗~/∼=F(X)是群(称为由X生成的自由群).{\color{blue}定理4.8.2.}\tilde{X^{*}}如上所述,在\tilde{X^{*}}中定义关系\sim:w_1 \sim w_2,w_1,w_2 \in \tilde{X^{*}}且存在\tilde{X^{*}}中序列w_1=v_1,v_2,\cdots, v_l = w_2,满足v_i与v_{i+1}相邻,则\sim 是同余关系,且\tilde{X^{*}}对于\sim 的商幺半群\tilde{X^{*}}/ \sim = F(X)是群(称为{\color{blue}由X生成的自由群}).定理4.8.2.X∗~如上所述,在X∗~中定义关系∼:w1∼w2,w1,w2∈X∗~且存在X∗~中序列w1=v1,v2,⋯,vl=w2,满足vi与vi+1相邻,则∼是同余关系,且X∗~对于∼的商幺半群X∗~/∼=F(X)是群(称为由X生成的自由群).
证首先证∼是等价关系.{\color{blue}证}首先证\sim是等价关系.证首先证∼是等价关系.
∀w∈X∗~,取v1=w,v2=wa1a1′,v3=w.于是v1与v2相邻，v2与v3相邻，故有w∼w.\forall w \in \tilde{X^{*}},取v_1=w,v_2=wa_1a_1^{\prime},v_3=w.于是v_1与v_2相邻，v_2与v_3相邻，故有w \sim w.∀w∈X∗~,取v1=w,v2=wa1a1′,v3=w.于是v1与v2相邻，v2与v3相邻，故有w∼w.
又若w1=v1,v2,⋯ ,vl=w2,且vi与vi+1相邻.令ui=vl−i+1,则u1=w2,u2,⋯ ,ul=w1,且ui与ui+1相邻.即从w1∼w2得到w2∼w1.又若w_1=v_1,v_2,\cdots, v_l=w_2,且v_i与v_{i+1}相邻.令u_i=v_{l-i+1},则u_1=w_2,u_2,\cdots,u_l=w_1,且u_i与u_{i+1}相邻.即从w_1\sim w_2得到w_2 \sim w_1.又若w1=v1,v2,⋯,vl=w2,且vi与vi+1相邻.令ui=vl−i+1,则u1=w2,u2,⋯,ul=w1,且ui与ui+1相邻.即从w1∼w2得到w2∼w1.
再设w1∼w2,w2∼w3,于是存在一些序列:再设w_1 \sim w_2,w_2 \sim w_3,于是存在一些序列:再设w1∼w2,w2∼w3,于是存在一些序列:
w1=v1,v2,⋯ ,vl=w2,vi与vi+1相邻;w_1=v_1,v_2,\cdots, v_l = w_2,v_i与v_{i+1}相邻;w1=v1,v2,⋯,vl=w2,vi与vi+1相邻;
w2=u1,u2,⋯ ,um=w3,且uj与uj+1相邻.w_2=u_1,u_2,\cdots,u_m=w_3,且u_j与u_{j+1}相邻.w2=u1,u2,⋯,um=w3,且uj与uj+1相邻.
因而,w1=v1,v2,⋯ ,vl=u1,u2,⋯ ,um=w3为所求序列，故w1∼w3.因而,w_1=v_1,v_2,\cdots,v_l=u_1,u_2,\cdots,u_m=w_3为所求序列，故w_1\sim w_3.因而,w1=v1,v2,⋯,vl=u1,u2,⋯,um=w3为所求序列，故w1∼w3.
再证∼为同余关系.注意到.若u1与u2相邻,则对任何v有u1v与u2v相邻,再证\sim为同余关系.注意到.若u_1与u_2相邻,则对任何v有u_1v与u_2v相邻,再证∼为同余关系.注意到.若u1与u2相邻,则对任何v有u1v与u2v相邻,
vu1与vu2相邻.设w1∼w2,u1∼u2,则由序列vu_1与vu_2相邻.设w_1 \sim w_2,u_1 \sim u_2,则由序列vu1与vu2相邻.设w1∼w2,u1∼u2,则由序列
w1u1=v1u1,v2u1,⋯ ,vlu1=w2u1w_1u_1=v_1u_1,v_2u_1,\cdots,v_lu_1=w_2u_1w1u1=v1u1,v2u1,⋯,vlu1=w2u1
说明w1u1∼w2u1,同样w2u1∼w2u2,故知说明w_1u_1\sim w_2u_1,同样w_2u_1 \sim w_2u_2,故知说明w1u1∼w2u1,同样w2u1∼w2u2,故知
w1u1∼w2u2,\qquad w_1u_1 \sim w_2u_2,w1u1∼w2u2,
即∼是同余关系。即\sim是同余关系。即∼是同余关系。
最后，证明商幺半群F(X)=X∗~/∼是群，只需证明F(X)中任意元素可逆.最后，证明商幺半群F(X)=\tilde{X^{*}}/\sim是群，只需证明F(X)中任意元素可逆.最后，证明商幺半群F(X)=X∗~/∼是群，只需证明F(X)中任意元素可逆.
对∀x∈X∗~,∧为空字,x′如式(4.8.1),则有∧xx′∧=xx′,∧=∧∧.即xx′与∧相邻.对\forall x \in \tilde{X^{*}},\land为空字,x^{\prime}如式(4.8.1),则有\land xx^{\prime} \land=xx^{\prime},\land = \land \land.即xx^{\prime}与\land相邻.对∀x∈X∗~,∧为空字,x′如式(4.8.1),则有∧xx′∧=xx′,∧=∧∧.即xx′与∧相邻.
因而∧∼xx′.又若x1x2⋯xm∈X∗~,则有xm′xm−1′⋯x2′∈X∗~,且因而\land \sim xx^{\prime}.又若x_1x_2\cdots x_m \in \tilde{X^{*}},则有x_m^{\prime}x_{m-1}^{\prime}\cdots x_2^{\prime} \in \tilde{X^{*}},且因而∧∼xx′.又若x1x2⋯xm∈X∗~,则有xm′xm−1′⋯x2′∈X∗~,且
（x1x2⋯xm)(xm′xm−1′⋯x1′)=x1x2⋯xmxm′⋯x1′∼∧.（x_1x_2\cdots x_m)(x_m^{\prime}x_{m-1}^{\prime}\cdots x_1^{\prime})=x_1x_2\cdots x_mx_m^{\prime}\cdots x_1^{\prime} \sim \land.（x1x2⋯xm)(xm′xm−1′⋯x1′)=x1x2⋯xmxm′⋯x1′∼∧.
这就证明了F(X)中元素均可逆，故为群.这就证明了F(X)中元素均可逆，故为群.这就证明了F(X)中元素均可逆，故为群.
例1设X={a},则F(X)为无限循环群.{\color{blue}例1}设X=\lbrace a \rbrace,则F(X)为无限循环群.例1设X={a},则F(X)为无限循环群.
定理4.8.3.设X为一非空集合,G是群,又f是X到G的映射,则存在唯一的F(X)到{\color{blue}定理4.8.3.}设X为一非空集合,G是群,又f是X到G的映射,则存在唯一的F(X)到定理4.8.3.设X为一非空集合,G是群,又f是X到G的映射,则存在唯一的F(X)到
G的同态ψ,使ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X,这里xˉ表示x在F(X)=X∗~/∼中的同态像.G的同态\psi,使\psi(\bar{x})=f(x),\forall x \in X,这里\bar x 表示x在F(X)=\tilde{X^{*}}/\sim中的同态像.G的同态ψ,使ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X,这里xˉ表示x在F(X)=X∗~/∼中的同态像.
证X′,X∗及X∗~如前所述.首先将f扩充为X∗到G的映射,仍以f表示,满足f(x′)=f(x)−1,∀x′∈X′.{\color{blue}证}X^{\prime},X^{*}及\tilde{X^{*}}如前所述.首先将f扩充为X^{*}到G的映射,仍以f表示,满足f(x^{\prime})=f(x)^{-1},\forall x^{\prime} \in X^{\prime}.证X′,X∗及X∗~如前所述.首先将f扩充为X∗到G的映射,仍以f表示,满足f(x′)=f(x)−1,∀x′∈X′.
由定理4.8.1知存在唯一的幺半群X∗~到G的同态ϕ,使ϕ(x)=f(x),∀x∈X∗.由定理4.8.1知存在唯一的幺半群\tilde{X^{*}}到G的同态\phi,使\phi(x)=f(x),\forall x \in X^{*}.由定理4.8.1知存在唯一的幺半群X∗~到G的同态ϕ,使ϕ(x)=f(x),∀x∈X∗.
若X∗~中元素w1与w2相邻,不妨设w1=gh,w2=gxx′h,g,h∈X∗~,x,x′∈X∗.x′如式(1),则有若\tilde{X^{*}}中元素w_1与w_2相邻,不妨设w_1=gh,w_2=gxx^{\prime}h,g,h \in \tilde{X^{*}},x,x^{\prime} \in X^{*}.x^{\prime}如式(1),则有若X∗~中元素w1与w2相邻,不妨设w1=gh,w2=gxx′h,g,h∈X∗~,x,x′∈X∗.x′如式(1),则有
ϕ(w2)=ϕ(g)ψ(x)ϕ(x′)ϕ(h)=ϕ(g)ϕ(h)=ϕ(w1).\phi(w_2)=\phi(g)\psi(x)\phi(x^{\prime})\phi(h)=\phi(g)\phi(h)=\phi(w_1).ϕ(w2)=ϕ(g)ψ(x)ϕ(x′)ϕ(h)=ϕ(g)ϕ(h)=ϕ(w1).
即得w1∼w2⇒ϕ(w1)=ϕ(w2).即得w_1 \sim w_2 \Rightarrow \phi(w_1)=\phi(w_2).即得w1∼w2⇒ϕ(w1)=ϕ(w2).
对于F(X)=X∗~/∼中的元素wˉ(即w所在的同余类),定义ϕ(wˉ)=ψ(w),于是有ϕ为同态,且ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X.显然ψ唯一。对于F(X)=\tilde{X^{*}}/\sim中的元素\bar w (即w所在的同余类),定义\phi(\bar w)=\psi(w),于是有\phi为同态,且\psi(\bar x) = f(x),\forall x \in X.显然\psi唯一。对于F(X)=X∗~/∼中的元素wˉ(即w所在的同余类),定义ϕ(wˉ)=ψ(w),于是有ϕ为同态,且ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X.显然ψ唯一。
推论1设X={a1,a2,⋯ ,an},则α:x→xˉ是X到F(X)中的一一映射.{\color{blue}推论1}设X=\lbrace a_1,a_2,\cdots,a_n \rbrace,则\alpha:x \to \bar x 是X到F(X)中的一一映射.推论1设X={a1,a2,⋯,an},则α:x→xˉ是X到F(X)中的一一映射.
证在Zn={(m1,m2,⋯ ,mn)∣mi∈Z,1≤i≤n}中定义加法运算为{\color{blue}证}在\mathcal{Z}^n=\lbrace (m_1,m_2,\cdots,m_n) | m_i \in \mathcal{Z}, 1\leq i \leq n \rbrace中定义加法运算为证在Zn={(m1,m2,⋯,mn)∣mi∈Z,1≤i≤n}中定义加法运算为
(m1,m2,⋯ ,mn)+(l1,l2,⋯ ,ln)=(m1+l1,m2+l2,⋯ ,mn+ln).(m_1,m_2,\cdots,m_n) + (l_1,l_2,\cdots,l_n)=(m_1+l_1,m_2+l_2,\cdots,m_n+l_n).(m1,m2,⋯,mn)+(l1,l2,⋯,ln)=(m1+l1,m2+l2,⋯,mn+ln).
则Zn是交换群,而X到Zn中映射则\mathcal{Z}^n是交换群,而X到\mathcal{Z}^n中映射则Zn是交换群,而X到Zn中映射
f:ai→(m1,m2,⋯ ,mn),mj=δij,1≤i,j≤nf:a_i\to (m_1,m_2,\cdots,m_n),m_j=\delta_{ij},1\leq i,j \leq nf:ai→(m1,m2,⋯,mn),mj=δij,1≤i,j≤n
是一一映射.是一一映射.是一一映射.
由定理4.8.3知有F(X)到Zn的同态ψ,使得由定理4.8.3知有F(X)到\mathcal{Z}^n的同态\psi,使得由定理4.8.3知有F(X)到Zn的同态ψ,使得
ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X,\psi(\bar x) = f(x), \forall x \in X,ψ(xˉ)=f(x),∀x∈X,
即有ψα=f.因f是一一的,故α也是一一的.即有\psi \alpha = f.因f是一一的,故\alpha也是一一的.即有ψα=f.因f是一一的,故α也是一一的.
由推论1，X可视为F(X)的子集,此时,定理4.8.3中ψ的条件可改为由推论1，X可视为F(X)的子集,此时,定理4.8.3中\psi的条件可改为由推论1，X可视为F(X)的子集,此时,定理4.8.3中ψ的条件可改为
ψ(x)=f(x),∀x∈X.\qquad \psi(x) = f(x), \forall x \in X.ψ(x)=f(x),∀x∈X.
推论2设G是有限生成群,则G同构于一个自由群的商群.{\color{blue}推论2}设G是有限生成群,则G同构于一个自由群的商群.推论2设G是有限生成群,则G同构于一个自由群的商群.
证设G=⟨g1,g2,⋯ ,gn⟩,X={a1,a2,⋯ ,an},定义X到G的映射{\color{blue}证}设G=\lang g_1,g_2,\cdots,g_n \rang,X=\lbrace a_1,a_2,\cdots,a_n \rbrace,定义X到G的映射证设G=⟨g1,g2,⋯,gn⟩,X={a1,a2,⋯,an},定义X到G的映射
f:f(ai)=gi;\qquad f: f(a_i) = g_i;f:f(ai)=gi;
于是由定理??有F(X)到G的同态ψ,满足于是由定理??有F(X)到G的同态\psi,满足于是由定理??有F(X)到G的同态ψ,满足
ψ(ai)=f(ai)=gi.\qquad \psi(a_i) = f(a_i) = g_i.ψ(ai)=f(ai)=gi.
因而ψ(F(X))=G,故G≃F(X)/kerψ.因而\psi(F(X)) = G,故G \simeq F(X)/\mathrm{ker}\psi.因而ψ(F(X))=G,故G≃F(X)/kerψ.
我们称kerψ为G的生成元g1,g2,⋯ ,gn间的关系集.如kerψ也是由有限个元素我们称\mathrm{ker}\psi为G的生成元g_1,g_2,\cdots,g_n间的{\color{blue}关系集}.如\mathrm{ker}\psi也是由有限个元素我们称kerψ为G的生成元g1,g2,⋯,gn间的关系集.如kerψ也是由有限个元素
w1,w2,⋯ ,wr生成,则称G是有限生成的.而w_1,w_2,\cdots,w_r生成,则称G是{\color{blue}有限生成}的.而w1,w2,⋯,wr生成,则称G是有限生成的.而
ψ(wi)=e,1≤i≤r\qquad \psi(w_i) = e, 1 \leq i \leq rψ(wi)=e,1≤i≤r
称为G的生成元g1,g2,⋯ ,gn的一组生成关系.称为G的生成元g_1,g_2,\cdots,g_n的一组{\color{blue}生成关系}.称为G的生成元g1,g2,⋯,gn的一组生成关系.
例2设Dn是保证正n边形不动的转动与反射生成的群,通常称为二面体群,{\color{blue}例2}设D_n是保证正n边形不动的转动与反射生成的群,通常称为二面体群,例2设Dn是保证正n边形不动的转动与反射生成的群,通常称为二面体群,
设a是转动2π/n,而b是对x轴的反射(假定正n边形有一个顶点在x轴的正方向).设a是转动2\pi/n,而b是对x轴的反射(假定正n边形有一个顶点在x轴的正方向).设a是转动2π/n,而b是对x轴的反射(假定正n边形有一个顶点在x轴的正方向).
容易看出,Dn由a与b生成,即Dn=⟨a,b⟩,且有容易看出,D_n由a与b生成,即D_n=\lang a, b \rang,且有容易看出,Dn由a与b生成,即Dn=⟨a,b⟩,且有
an=b2=id,bab=a−1.\qquad a^n = b^2 = \mathrm{id}, bab = a^{-1}.an=b2=id,bab=a−1.
我们来证明这些就是Dn的生成关系.我们来证明这些就是D_n的生成关系.我们来证明这些就是Dn的生成关系.
令X={x1,x2},于是有F(X)到Dn的同态ψ,使ψ(x1)=a,ψ(x2)=b.令X=\lbrace x_1, x_2 \rbrace,于是有F(X)到D_n的同态\psi,使\psi(x_1)=a,\psi(x_2)=b.令X={x1,x2},于是有F(X)到Dn的同态ψ,使ψ(x1)=a,ψ(x2)=b.
由上面关系知x1n,x22,x1x2x1x2∈kerψ.由上面关系知x_1^n,x_2^2,x_1x_2x_1x_2 \in \mathrm{ker}\psi.由上面关系知x1n,x22,x1x2x1x2∈kerψ.
于是由x1n,x22,x1x2x1x2生成的F(X)的正规子群K(即包含x1n,x22,x1x2x1x2的于是由x_1^n,x_2^2,x_1x_2x_1x_2生成的F(X)的正规子群K(即包含x_1^n,x_2^2,x_1x_2x_1x_2的于是由x1n,x22,x1x2x1x2生成的F(X)的正规子群K(即包含x1n,x22,x1x2x1x2的
最小正规子群)在kerψ中.最小正规子群)在\mathrm{ker}\psi中.最小正规子群)在kerψ中.
又F(X)/kerψ与Dn同构,因此只需证明[F(X):K]≤∣Dn∣=2n,又F(X)/\mathrm{ker}\psi与D_n同构,因此只需证明[F(X):K] \leq |D_n| = 2n,又F(X)/kerψ与Dn同构,因此只需证明[F(X):K]≤∣Dn∣=2n,
则有kerψ=K,即上述关系为Dn的生成关系.则有\mathrm{ker}\psi=K,即上述关系为D_n的生成关系.则有kerψ=K,即上述关系为Dn的生成关系.
显然xˉ1=x1K,xˉ2=x2K为F(x)/K的生成元，显然\bar x_1 = x_1K,\bar x_2 = x_2K为F(x)/K的生成元，显然xˉ1=x1K,xˉ2=x2K为F(x)/K的生成元，
由x1n,x22,x1x2x1x2∈K,由x_1^n,x_2^2,x_1x_2x_1x_2 \in K,由x1n,x22,x1x2x1x2∈K,
有X1n‾=x22‾=xˉ1xˉ2xˉ1xˉ2=eˉ,有\overline{X_1^n} = \overline{x_2^2}=\bar x_1 \bar x_2 \bar x_1 \bar x_2 = \bar e,有X1n=x22=xˉ1xˉ2xˉ1xˉ2=eˉ,
故xˉ2xˉ1=x−1‾xˉ2,xˉ2x1k‾=x1−k‾xˉ2,故\bar x_2 \bar x_1 = \overline{x^{-1}} \bar x_2, \bar x_2 \overline{x_1^k}=\overline{x_1^{-k}}\bar x_2,故xˉ2xˉ1=x−1xˉ2,xˉ2x1k=x1−kxˉ2,
因而F(X)/K中子集G1={x1k‾,x1k‾xˉ2∣1≤k≤n}为子群,因而F(X)/K中子集G_1=\lbrace \overline{x_1^{k}}, \overline{x_1^{k}}\bar x_2 | 1 \leq k \leq n \rbrace为子群,因而F(X)/K中子集G1={x1k,x1kxˉ2∣1≤k≤n}为子群,
但由xˉ1,xˉ2∈G1,知G1=F(X)/K,而∣G1∣≤2n,因而[F(X):K]≤2n.但由\bar x_1, \bar x_2 \in G_1,知G_1=F(X)/K,而|G_1| \leq 2n, 因而[F(X):K] \leq 2n.但由xˉ1,xˉ2∈G1,知G1=F(X)/K,而∣G1∣≤2n,因而[F(X):K]≤2n.

抽象代数 04.08 自由幺半群与自由群相关推荐

android 部分文字加粗,2013.04.08——— android 关于部分文字加粗的有关问题
2013.04.08--- android 关于部分文字加粗的问题 2013.04.08--- android 关于部分文字加粗的问题参考:http://blog.csdn.net/garretl ...
面试题 04.08. 首个共同祖先
面试题 04.08. 首个共同祖先思路:要么一左一右,返回root,要么返回左,要么返回右 /*** Definition for a binary tree node.* struct TreeN ...
2020.04.08【NOIP普及组】模拟赛C组24 总结
2020.04.08 2020.04.08 2020.04.08[ N O I P NOIP NOIP普及组]模拟赛 C C C组 24 24 24 总结概述: 这次比赛我 A K AK AK了,拿 ...
E.04.08 They Survived Taiwan’s Train Crash. Their Loved Ones Did Not.
2021.04.08 文章目录 [课程导读] [英文原文] [外刊原文] [课程导读] 4月2日,台铁太鲁阁号列车,行至花莲大清水隧道时发生严重脱轨事故.截至目前,车上350余名乘客中,死亡人数达到5 ...
CAT24C01/02/04/08/16 和CAT24C512 设备地址差异；大容量空间读写还要在设备地址后面加寄存器地址
ATMEL EEPROM AT24CXXX 安森美 ON EEPROM CAT24CXXX EEPROM 设备地址 1.1,CAT24C01/02/04/08/16 设备地址规格书 ...
2021.04.08 线程和进程的使用
2021.04.08 线程和进程的作用直接通过Thread创建子线程 Thread(target=需要在子线程中调用的函数,args=(函数的实参列表)) from threading import ...
ROS安装时rosdep init与rosdep update问题解决方法（2022.04.08亲测）
2022.4.8更新: 运行下面的指令即可 sudo apt-get install python3-pip sudo pip3 install rosdepc sudo rosdepc init r ...
抽象代数 04.01 群的生成元组
http://www.icourses.cn 南开大学<抽象代数> §4.1 群的生成元组\color{blue}\text{\S 4.1 群的生成元组}§4.1 群的生成元组本节讨论群 ...
ESP32-IDF开发笔记 | 01 - ESP-IDF开发环境搭建（2023.04.08更新）
更新内容更新时间 2021.05.01 基于ESP32+IDF 4.4完成初稿 2023.03.12 基于IDF 5.0.1添加VScode IDF扩展安装.配置.使用方法 2023.04.07 增 ...

抽象代数 04.08 自由幺半群与自由群

§4.8 自由幺半群与自由群{\color{blue}{\text{\S 4.8 自由幺半群与自由群}}}§4.8 自由幺半群与自由群

抽象代数 04.08 自由幺半群与自由群相关推荐

最新文章

热门文章