概率论-重点概念回顾
概率论-重点概念回顾
1、大数定理和中心极限定理
- 大数定理：在样本数量很大时，样本均值和数学期望接近。随机事件发生的频率接近于理论概率。
- 中心极限定理：在样本数量无穷大时，样本均值的分布呈正态分布。
- 二者区别：前者关注的是 样本均值（本身），是一个数值；后者关注的是样本均值的分布情况。
2、 全概率公式和贝叶斯公式
- 全概率公式：P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+P(B3)P(A∣B3)+⋯，把Bi看作是事件A发生的一种“可能途径”，P(A∣B1)则是通过这种途径得到A的可能性，而途径的选择是随机的，因此可以把P(A)看作不同途径概率的和。
- 贝叶斯公式：
，其实是条件概率之间的相互“交换”。贝叶斯公式可以看做是求某种途径占所有的比例。 也可以理解是，用先验概率计算后验概率。 - 贝叶斯决策：利用贝叶斯公式进行后验概率计算。
3、链式法则
- p(X1X2,…,Xn)=p(X1)∗p(X2∣X1)∗…∗p(Xn∣X1,X2,…Xn−1)，链式法则通常用于计算多个随机变量的联合概率，特别是在变量之间相互为（条件）独立时会非常有用。
4、概率分布
- Def：概率分布是描述随机变量的不同取值范围及其概率的函数。由该函数可以计算出随机变量X落入某一区间的概率。
5、连续、离散分布
- 离散分布：随机变量的取值是一些离散的点，如抛硬币，期望可以通过直接累积相加得到：∑x·P(x)；
- 连续分布：随机变量的取值是连续且无穷的，如01之间任取一个数，期望可以通过积分求得：∫x·P(x)dx。
6、正态分布
- 正态分布又称高斯分布，它是连续型随机变量的分布，它主要由两个参数u和σ2（期望和方差）。
7、T分布
- 用于根据**小样本来估计总体的均值，这个总体是呈正态分布且方差未知**的。
8、数学期望E：
- 随机变量的均值(不同于样本均值)。
- 大数定律指出如果样本足够的话，样本均值才会无限接近期望。
9、方差D：
- 概念：用于评价随机变量与数学期望（均值）的偏离程度。
- 计算：每个样本值与全体样本值的平均数（数学期望）之差的平方 的平均数。
- 总体方差的公式：
- 实际中，用样本表示总体，样本方差公式为：
- 离散型随机变量X的方差计算公式：，其中E(X)为数学期望.
- 连续型随机变量X的方差计算公式：，其中f(x)为概率分布函数。
10、协方差
- 衡量两个变量的总体误差；
- 期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差 **Cov(X,Y)**定义为：
- 两个变量变化趋势相同，则协方差为正值；变化趋势相反，则协方差为负值。
- 协方差为0 ，说明两个变量相互独立，互不相关。
11、独立、不相关
- 独立一定不相关，不相关不一定独立。
- 独立就是互不相干没有关联。
- 不相关就是两者没有线性关系，但是不排除其它关系存在。
12、隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）
- 它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。
- 状态转换概率图：不同状态之间转换的概率
- 模式识别：计算机用数学方法将样本分类。图像处理、计算机视觉、自然语言处理NLP
13、极大似然估计
- 是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。
- 最大似然估计是建立在这样的思想上：已知某个参数能使这个样本出现的概率最大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本，所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。
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