基于EEMD方法的降噪与解调在轴承故障诊断中的应用实证研究
基于EEMD方法的降噪与解调在轴承故障诊断中的应用实证研究
- 摘要
- 1 引言
- 2 EEMD简介
- 2.1 EMD简介
- 2.2 EEMD简介
- 3 基于阈值处理的EEMD降噪方法
- 3.1 相关系数
- 3.2 基于EEMD降噪的诊断步骤
- 3.3 实验研究
- 4 基于EEMD和峭度准则的共振解调方法
- 4.1 峭度准则
- 4.2 快速谱峭度理论
- 4.3 基于EEMD解调的诊断步骤
- 4.4 实验研究
- 5 结论
- 6 附录
- 6.1 代码
- 6.2 参考文献
摘要
对经验模态分解(EMD)方法和集合经验模态分解(EEMD)方法相关研究进行梳理与总结。阐述了经验模态分解(EMD)中有效本征模态分量(IMF)的两种选取方法(相关系数法、峭度准则)。将EEMD方法用于降噪，并对降噪后的数据进行频谱分析，构建出数据驱动的自适应降噪方法。将EEMD方法与峭度准则、快速谱峭度法结合用于共振解调，有效识别出了轴承的故障特征。
关键词：轴承；故障诊断；EEMD；频谱分析；包络谱分析
1 引言
随着“工业4.0”的提出和现代技术的发展，如何使机械少故障或者无故障长周期运行日益受到国内外工程界和学术界的关注【1】。自愈调控是在故障机理分析的基础上，利用仿生自愈设计赋予装备自愈功能，使其不发生故障或可不停机由异常状态恢复到正常状态，是保证智能装备健康运行的有效方案【2】。而故障的早期预警、实时诊断、快准溯源则是保证自愈调控的关键【3】。
轴承作为机械系统中关键零部件之一，一旦出现严重故障可能会导致机器停机，造成巨大的经济损失。在实际工作过程中，轴承故障振动信号微弱，容易被强干扰信号覆盖【4】。如何有效完成强噪声环境下的轴承故障振动信号中故障特征的提取，对故障进行及时诊断受到了广泛关注【5】。
按照反映故障信息的载体而言，目前的故障诊断方法可划分为【6】：
（1）温度监测法。
（2）油液检测法。
（3）振动信号分析法。
（4）声发射法。
（5）间隙测定诊断法等。而从文献中发现，基于振动信号和电流的监测对于故障诊断是首选的[7、8、9]。原因如下：
（1）技术具有非入侵性，可靠性高且价格低廉。
（2）信号数据能有效且高精度地表明机器当前的运行状态。
（3）振动信号易于测量以进行进一步的信号处理。
（4）可以在线获取机械电流和振动的信息，因此可以在线执行故障检测。
在2013年Tamilselvan[10]将DBN(深度信念网络)应用于飞机发动机故障诊断之后，使用振动信号分析的故障诊断技术主要可分为：
（1）传统信号处理的轴承故障诊断方法。
主要集中于时域分析[11]、频域分析[12]以及时频域分析[13]三种分析方式。传统的信号处理方法以快速傅里叶变换(FFT)为核心。 在降噪处理、故障特征提取等方面的主流方法有：小波变换[14]、Hilbert-Huang 变换[15]（HHT）、经验模态分解[16]（Empirical Mode Decomposition，EMD）等。传统信号处理方法的主要流程如下：
图1：传统信号处理流程框图
（2）基于深度学习算法的智能诊断方法[17]。
这种方法与传统方法较大的区别在于完全由数据驱动(Data-Driven)，避免了传统算法繁琐的特征提取过程，能够自动挖掘输入数据的深层特征，降低了诊断结果对专家知识的依赖。特别是近年来，以神经网络为代表的深度学习方法在模式识别领域取得了巨大的成功[18]。这一方向逐渐成为机械故障诊断领域研究热点。
在轴承故障诊断方面，2016年，Janssens等人[19]首次将卷积神经网络（CNN）用于轴承状况监测。其研究结果表明，CNN明显优于经典特征工程。目前已在轴承故障诊断领域成功应用的深度学习模型有：卷积神经网络（CNN）[20]，深度置信网络（DBN）[21]和深度自动编码器（DAE）[22]。
良好的深度神经网络模型很大程度上依赖于在大量样本数据上的训练。如果训练数据不足，则提取的深度特征很容易发生过拟合现象。导致诊断结果准确性和稳定性的大幅降低[23]。为克服这一困难，有较多学者选择使用Case Western Reserve University公布的轴承数据训练神经网络模型，并获得了不错的成果，如文献[24]。同时，2015年，G. Koch[25]等人率先将小样本学习方法(FSL)应用在深度学习算法里的CNN模型中。随后，学者们使用FSL方法在机器视觉[26]、声信号处理[27]领域取得了较大成果，在机械故障诊断领域结合小样本学习方法的神经网络模型相关研究则相对较少。
但轴承作为一个复杂机械系统的一部分，工作环境对其能否正常运行起着较大作用，使用的数据集决定了诊断效果的好坏。神经网络模型对轴承故障诊断能力的泛化作用值得进一步探究。对泛化效果良好的神经网络模型来说，可将机器从繁琐的传统算法中解放，在实时诊断、实时预警、降低故障危害方面有较大优势。
本文采用传统信号处理的轴承故障诊断方法。对EEMD方法的降噪和解调作用分别做了对应的实证分析，研究结果表明，EEMD方法能起到较好的效果，有利于轴承故障的特征提取与识别。
2 EEMD简介
2.1 EMD简介
EEMD是在EMD的基础上做的改进，所以有必要介绍EMD。
经验模态分解法(Empirical Mode Decomposition)[28],由美国国家宇航局美籍华人黄锷(N. E.Huang)等人在对瞬时频率问题进行深入研究之后所提出地将任意信号自适应分解为基本模式分量(IMF)的新方法。此方法适用于非线性和非平稳信号的分析，目前已被广泛的应用于机械故障诊断领域[29]。
EMD算法分解的目的是将一个信号f(t)分解为N个固有模态分量（IMF）和一个残差[28]。其中，IMF须满足以下条件：
（1）、原始振动信号序列中，信号幅值为零的点数和极值点数必须相等。即极值点数和过零点个数相同。
（2）在任意时刻，信号包络的极值点平均值必须为零。即信号极大值包络（上包络线）和信号极小值包络（下包络线）的平均值必须为零。
其主要流程可表示为：
图2：EMD算法流程图
但EMD方法存在着以下问题[30]：
(1)EMD分解存在边界效应，尽管有很多减小边界效应的方法，但仍不能从根本上消除。
(2)现有的EMD分解算法还不算很完善，信号在分解过程中会产生这样或那样的误差，一方面会产生较多的分量，从而带来附加的低频信息。
(3)由于信号的复杂性，可能会产生各分量之间存在模态混叠的现象，不利于信号的进一步分析。
2.2 EEMD简介
为减轻EMD所存在的模态混叠现象，Huang等[31]于2009年提出一种新的白噪声辅助数据分析方法一一EEMD集合经验模态分解。将原始信号 x(t) 设定平均处理次数 N，初始i=1,2,…,N。EEMD 具体分解方法如下：
Step-1:在X(t)中添加高斯白噪声Gi(t)G_i(t)Gi(t)获得综合信号X1(t)X_1(t)X1(t)。
X1(t)=x(t)+Gi(t)X_1(t)=x(t)+G_i(t)X1(t)=x(t)+Gi(t) 公式(1)
Step-2:利用EMD将X1(t)X_1(t)X1(t)分解得到不同尺度的IMF分量：
X1(t)=∑i=1NIMFi,n(t)+ri,n(t)X_1(t)=\displaystyle \sum^{N}_{i=1}{{IMF_{i,n}(t)+r_{i,n}(t)}}X1(t)=i=1∑NIMFi,n(t)+ri,n(t) 公式(2)
Step-3：X(t)添加不同的高斯白噪声，重复Step-1和Step-2，得 x(t) 经 EEMD 分解后的第 k 个分量：
xk(t)=∑k=1NIMFk,n+rk,n(t)x_k(t)=\displaystyle \sum^{N}_{k=1}IMF_{k,n}+r_{k,n}(t)xk(t)=k=1∑NIMFk,n+rk,n(t) 公式(3)
Step-4:对EEMD分解后IMF分量做平均，根据不相关随机序列统计均值为0，消除加入高斯白噪声对真实IMF分量的影响，即为：
IMFn(t)=1N∑k=1NIMFkn(t)IMF_n(t) = \frac{1}{N}\displaystyle \sum^{N}_{k=1}IMF_{kn}(t)IMFn(t)=N1k=1∑NIMFkn(t) 公式(4)
将IMFn(t)作为最终得到的第n个IMF分量。利用IMFn(t)之和得到的重构信号与原始信号 X(t)之间的误差满足下式：
Wn=wNW_n=\frac{w}{\sqrt{N}}Wn=Nw$ 公式(5)
式中，N为EEMD 的聚类次数，W为添加白噪声的标准差；由上式可以看出，Wn随聚合次数N增多而减少。本次研究中，w取=0.2，N =100。
经Huang等人的证明，EEMD方法较EMD方法能较好地解决模态混合的问题，近年来被广泛地应用于各方面的研究。Li等人[31]将其应用于金融时间序列的预测，文献32将其应用于COVID-19流行病的预测[32]。Liu[33]等人基于整体经验模态分解（EEMD）和曲线码（CC），提出了一种新的转子特征提取方法。EEMD在机械故障诊断领域的应用研究，后文也有所提及。
3 基于阈值处理的EEMD降噪方法
目前，已有较多学者将EEMD用于机械振动信号处理中的噪声与降噪研究。文献34为了分离汽油机的噪声源，采用集成经验模态分解（EEMD），鲁棒独立分量分析（RobustICA）和连续小波变换（CWT）等方法研究汽油机的盲源分离和噪声源识别。减轻了EMD中的模式混合问题，并克服了传感器的数量必须大于或等于分离的组件的数量的问题。文献35针对如何选择能够更好地反映故障特征的敏感IMF分量，提出了一种基于FBE的敏感IMF方法，成功地应用于滚动轴承的仿真数据和实际数据，可以准确地诊断轴承的故障特征。
从EEMD方法中可以看出，选择合适的 IMF 分量对滚动轴承故障特征提取意义重大，不同的选取依据直接影响轴承特征频率的提取，对 IMF 分量进行优选有一定的必要性。本文使用相关系数法，提取出高于与原信号相关系数高于一定阈值的IMF分量重构信号，并对重构后的信号进行频谱分析取得了不错的效果。
3.1 相关系数
本文中的相关系数是指IMF分量与原信号的相关系数。设信号采样点个数为N，原始信号为y，第i个IMF分量为IMFi，则IMF分量与原信号相关系数的计算公式为：
R=∑k=1N(y−E(y))(IMFi−E(IMFi))∑k=1N(y−E(y))(IMFi−IMFi)R =\frac{\displaystyle \sum^{N}_{k=1}{{(y-E(y))(IMF_i-E(IMF_i))}}}{\displaystyle \sum^{N}_{k=1}\sqrt{(y-\sqrt{E(y)})(IMF_i - \sqrt{IMF_i})}}R=k=1∑N(y−E(y))(IMFi−IMFi)k=1∑N(y−E(y))(IMFi−E(IMFi)) 公式(6)
上式中，E表示平均。根据得到的所有IMF分量与原信号的相关关系，得到提取的阈值TH，其计算公式如下：
TH=1n×∑i=1nRi−E(i)2TH = \sqrt{\frac{1}{n}×\displaystyle \sum^{n}_{i=1}R_i-E(i)^2}TH=n1×i=1∑nRi−E(i)2 公式(7)
其中，RiR_iRi表示第i个IMF分量与原信号的相关系数，n表示IMF分量的个数。
3.2 基于EEMD降噪的诊断步骤
基于EEMD降噪的诊断步骤可表示如下:
图3：基于EEMD降噪的故障诊断步骤
3.3 实验研究
实验数据为轴承数据，采集到的数据共有三段正常状态下的数据，三段故障状态下的数据。采样频率为20KHz，样本个数为20480个。数据原始波形图如下：
图4：正常数据波形图（蓝色） 图5：故障数据波形图（黄色）
为方便比较，将正常数据的第一段波形与故障数据第一段波形进行比较，如下图：
图6：波形比较
可以发现，从数据的波形图里难以看出轴承在正常运行状态下与故障状态下振动信号的不同。但可以看出，故障轴承的信号与正常轴承幅值有较大不同。
同时，对正常数据的第一段波形与故障数据第一段波形绘制简单频谱，如下图所示：
图7：正常状态下第一段数据与故障状态下第一段数据频谱比对
可以发现，故障状态下的频谱有多次冲击，且频率相对较高，多个冲击激励源的叠加导致了其波形与正常波形的不同。本文所选用的EEMD降噪方法核心思想便是提取出与原始波形相似度较高的，在此处也即包含较多冲击信息的IMF分量，剔除影响判断的噪声数据，方法具有合理性。
本文中，先对故障轴承第一段波形数据使用EEMD方法进行降噪故障诊断。共得到13个IMF分量和一个残差，分别画出：
图8：故障第一段波形IMF分量
计算出该波形各IMF分量与原信号的相关系数，为便于表示，均乘以100%。如表1：
| 分量 | IMF1 | IMF2 | IMF3 | IMF4 | IMF5 | IMF6 | IMF7 | IMF8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 相关系数 | 62.85% | 58.00% | 46.81% | 48.83% | 21.68% | 15.62% | 13.80% | 20.34% |
| 分量 | IMF9 | IMF10 | IMF11 | IMF12 | IMF13 |
|---|---|---|---|---|---|
| 相关系数 | 12.16% | 1.17% | 46.81% | 1.20% | 0.65% |
表1：故障第一段波形各IMF分量相关系数
根据公式(7)，计算出的阈值TH = 22%，故选择相关系数大于阈值的IMF分量相加，即IMF1、IMF2、IMF3、IMF4相加，组成重构后的信号。重构后的信号如图9：
图9：故障第一段波形重构后信号
可以看出，重构后信号较原始信号凸显了更多冲击信号，达到了较好的降噪效果。对轴承正常数据得到的频谱图如图10。
图10：轴承正常状态振动信号降噪后频谱图
分析轴承正常状态下降噪后的频谱可知，冲击信号频率主要为985HZ左右，其余状态下，频谱图中没有明显的峰值，表示其运行状态良好，符合实际情况。
对故障状态下的轴承使用本方法，得到的频谱图如图11：
图11：轴承故障状态振动信号降噪后频谱图
可以发现，故障轴承振动信号中，在1970Hz(2×985)左右、4925(5×985)Hz出现了较大振幅。且三段故障数据比较下来看，轴承在固定时点，也即转过某一位置时产生了突变的冲击脉冲力，在轴承冲击时引起了谐振。是典型的内圈故障。但频谱中能量主要集中在中高频，无法有效提取出轴承故障特征频率，故在本文第4节使用包络谱分析方法辅助诊断。
4 基于EEMD和峭度准则的共振解调方法
4.1 峭度准则
峭度[6]是描述波形尖峰度的一个无量纲参数，峭度值K的定义为：
K=E(x−μ)4σ4(8)K=\frac{\Epsilon(x-\mu)^{4}}{\sigma^{4}}\tag{8} K=σ4E(x−μ)4(8)
式中，μ、σ分别为信号x的均值和标准差，E(t)表示变量t的期望值。正常轴承的振动信号近似服从正态分布，其峭度值约为3，而当轴承开始出现故障时，峭度值明显增大。结合EEMD方法，可以判断，当某些IMF的峭度值K大于3时，说明这些IMF中含有较多的冲击成分，即原信号分解后由较多的故障冲击成分保留在这些IMF中。
本文中应用此法则，对EEMD分解后得到的IMF分量求其峭度值，取峭度值大于3的IMF分量进行重构，可以得到较原信号有较大峭度值提升的重构信号。以重构信号为基础，再进行分析。
4.2 快速谱峭度理论
峭度作为一种统计工具，在噪声干扰小的状态监测、故障诊断中有较大作用。但其作为一个全局指标无法反映特定信号分量的变化情况，不适合强噪声环境下的状态监测问题。Dwyer[6]为克服这一问题，首次提出谱峭度法(Spectral Kurtosis-SK)法。谱峭度的定义如下：
Kx(f)=S4(f)S2(f)2−2(9)K_x(f)=\frac{S_4(f)}{{S_2(f)}^2}-2\tag{9}Kx(f)=S2(f)2S4(f)−2(9)
式中,f≠0,Sn(f)S_n(f)Sn(f)为信号的n阶谱矩。
Antoni[36]在谱峭度的基础上，基于FIR带通滤波器提出了一种谱峭度算法。通过该算法，可确定最佳的带通滤波器中心频率和带宽。本文使用文献36，即Antoni所提出的基础塔式算法的计算方法，在减少计算时间的同时可得到谱峭度的二维图。横坐标代表频率f，纵坐标代表分解层数K。本文采用Matlab所提供的快速谱峭度图封装函数，将其作为确定诊断用的检测滤波器的盲辨识工具。
4.3 基于EEMD解调的诊断步骤
诊断步骤如图12所示：
具体诊断步骤如下：
- 对采集信号进行EEMD分解。
- 计算各IMF分量的峭度值。
- 选择峭度值大于3的IMF分量重构信号。
- 对合成信号求快速峭度图。选取图中峭度最大处对应的中心频率和带宽。
- 以该中心频率和带宽为带通滤波器参数对合成信号进行带通滤波。
- 对滤波后信号进行极值包络，通过FFT算法求出其包络谱。
- 将正常状态下的包络谱和故障状态下求出的包络谱进行对比分析，诊断出轴承故障状态。
4.4 实验研究
仍旧以上文所提及的故障第一段波形数据为例。EEMD分解后得到的IMF分量如图13所示：
图13：故障第一段采样信号EEMD分解IMF分量
对其各IMF分量求峭度，如表2所示：
由峭度准则，选择峭度值大于3的IMF分量，即IMF4、IMF6、IMF10构成重构信号X。对信号X进行快速谱峭度算法，并得出二维图如图14所示：
图14：故障第一段波形重构信号后快速峭度图
由快速峭度图可知，中心频率为6.25KHz,带宽为2.5KHz。以此为依据，对重构后信号进行滤波，即选择频率为5000Hz-7500Hz的信号。得到滤波后的信号X1及其上极值包络线如图15所示：
图15：重构信号滤波后信号X1及其上包络线
对该信号X1进行包络分析，得到包络谱如图16所示：
图16：故障状态第一段波形包络谱
用上述方法，对正常轴承的三段采样信号和故障轴承的另两段采样信号进行分析，得到的结果如下：
图17：正常状态下三段数据快速峭度图
图18：正常状态下三段数据过滤后数据及包络谱
求出故障状态下轴承的包络谱为：
图19故障第二、三段数据包络线及包络谱
通过对故障状态下的包络谱分析，可以发现故障频率主要集中在1000Hz以下，此处选择包络谱易于观察的一段正常数据和一段故障数据为例进行对比。
图20：对比图
一般来说，知道轴承的结构数据便可计算出各轴承的故障频率。且轴承故障频率一般在1000Hz以下。此处通过正常状态与故障状态的包络谱比对分析，可以发现，故障轴承在83Hz、170Hz、237Hz、300Hz左右出现异常波峰，符合基本知识。但此时包络谱的幅值表现上不明显，说明其只在轴承发生冲击时才会有所反映。结合上文的频谱分析，诊断出轴承故障是内圈故障，且故障频率在83Hz左右。
5 结论
本文总结了如今流行的轴承振动分析方法对经验模态分解(EMD)方法和集合经验模态分解(EEMD)方法相关研究进行梳理与总结。阐述了经验模态分解(EMD)中有效本征模态分量(IMF)的两种选取方法(相关系数法、峭度准则)。将EEMD方法用于降噪，并对降噪后的数据进行频谱分析，构建出数据驱动的自适应降噪方法。将EEMD方法与峭度准则、快速谱峭度法结合用于共振解调，有效诊断出了轴承的故障为内圈故障，且故障特征频率在83Hz左右。
6 附录
仅展示部分代码。
如有需要，请联系本人QQ1572691387。
6.1 代码
EMD部分
import math
import numpy as np
import pylab as pl
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal as signal
from scipy import fftpack
import scipy.signal as signal
from scipy import interpolate
import os
import pandas as pd
os.chdir("G:\\science\\机器自愈实验室\\大作业")
df_zc = pd.read_excel("正常轴承.xlsx")
f = 20000
N = 20480y_ = df_zc['第一段波形']
y = np.array(y_)
t = np.linspace(0,N/f,N)#判定当前的时间序列是否是单调序列
def is_monotonic(x):max_peaks=signal.argrelextrema(x,np.greater)[0]min_peaks=signal.argrelextrema(x,np.less)[0]all_num=len(max_peaks)+len(min_peaks)if all_num>0:return Falseelse:return Truedef emd(x):imf=[]while not is_monotonic(x):x1=xsd=np.infwhile sd>0.1 or (not is_Imf(x1)):
# print isImf(x1)s1=getspline(x1)s2=-getspline(-1*x1)x2=x1-(s1+s2)/2sd=np.sum((x1-x2)**2)/np.sum(x1**2)x1=x2imf.append(x1)x=x-x1imf.append(x)return imfdef wgn(x, snr):snr = 10**(snr/10.0)xpower = np.sum(x**2)/len(x)npower = xpower / snrreturn np.random.randn(len(x)) * np.sqrt(npower)#imf[0]
def draw_imf(imf):for i in range(len(imf)):plt.figure(figsize=(8,3))#plt.plot(y,label = "orignal",ha = 0.8)plt.plot(t,imf[i],label = "imf["+str(i)+"]")plt.ylabel("C1")plt.legend(loc = 'best')plt.show()
EEMD部分
import os
import pandas as pd
from PyEMD import *
from scipy import signal
from scipy import fftpack
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
os.chdir("G:\\science\\机器自愈实验室\\大作业\\data")
df_zc = pd.read_excel("正常轴承.xlsx")
df_gz = pd.read_excel("故障轴承.xlsx")
import matplotlib as mpl
from scipy.fftpack import fft
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['KaiTi'] # 楷体字体
mpl.rcParams['font.serif'] = ['KaiTi']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题,或者转换负号为字符串
#https://blog.csdn.net/weixin_45317919/article/details/109850346
from scipy import stats#画图
fig,axes = plt.subplots(3,1,figsize = (3,6),dpi = 300)
axes[0].plot(df_gz['第一段波形'],label = "正常第一段波形",color = "orange")
axes[0].spines['right'].set_color('none') # right边框属性设置为none 不显示
axes[0].spines['top'].set_color('none') # top边框属性设置为none 不显示
axes[1].plot(df_gz['第二段波形'],label = "正常第一段波形",color = "orange")
axes[1].spines['right'].set_color('none') # right边框属性设置为none 不显示
axes[1].spines['top'].set_color('none') # top边框属性设置为none 不显示
axes[2].plot(df_gz['第三段波形'],label = "正常第一段波形",color = "orange")
axes[2].spines['right'].set_color('none') # right边框属性设置为none 不显示
axes[2].spines['top'].set_color('none') # top边框属性设置为none 不显示
plt.savefig("故障波形.png")f = 20000
N = 20480
#d = 1/(f*N)
f_q = fftpack.fftfreq(N,1.0/f)
t = np.linspace(0,N/f,N)
#f_q = fftpack.fftfreq(N,1.0/f) # 保存的是每个频率单元的频率
mask = np.where(f_q >= 0) # 保存正频率分量的掩码sample_rate = 20000
N_1 = int(sample_rate/50)
f_1 = fftpack.fftfreq(N_1,1.0/sample_rate)
t_1 = np.linspace(0,0.02,N_1)
#用于截取小于1000HZ的频率
mask_1 = (f_1>0)def jiegou_(data):data_ = []for i in data:data_.append(i)return(data_)#添加数据
def EEMD_raw_data(data,t):eemd = EEMD()eimfs = eemd(data,t)data_imf = pd.DataFrame(data)data_imf.columns = ['原始信号']for i in range(len(eimfs)):data_imf["imf"+str(i)] = eimfs[i]return data_imf#计算相关系数
def EEMD_Cov(data):r_ = []for i in range(len(data.columns)):if i == 0:passelse:y_ys_mean = data['原始信号'].mean()y_imf_mean = data["imf"+str(i-1)].mean()y = np.sum(np.multiply((data.iloc[:,0]-y_ys_mean),(data.iloc[:,i]-y_imf_mean)))x = np.sum(np.multiply((data.iloc[:,0]-y_ys_mean)**2,(data.iloc[:,i]-y_imf_mean)**2))x_sqr = x**0.5result = y/x_sqrr_.append(result)return(r_)#计算阈值
def TH_(data):data1 = np.sum((data - np.mean(data))**2)TH = ((1/(len(data)-1))*data1)**0.5return(TH)
6.2 参考文献
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