Kendall tau距离

定义：Kendall tau距离衡量两个序列的相似性，距离越大，相似性越小。具体可用序列a调正次序变为序列b所花费的步骤数来量化。要求序列a和序列b的长度以及元素是一样的。

如a={0,3,1,6,2,5,4}a=\{0, 3, 1, 6, 2, 5, 4\}a={0,3,1,6,2,5,4}，b={1,0,3,6,4,2,5}b=\{1, 0, 3, 6, 4, 2, 5\}b={1,0,3,6,4,2,5}，将a调整顺序化为b的距离

首先为序列 aaa 定义一个基准，用序列 aIndexaIndexaIndex 存放 aaa 各元素对应的索引，如下：

aaa 和 aIndexaIndexaIndex 满足： $ aIndex[a[i]] = i$ ，通过索引 iii 在 aaa 中找对应的值，通过值 a[i]a[i]a[i] 在 aIndexaIndexaIndex 中找对应的索引。

假若从 i=0i=0i=0 开始去遍历 a[i]a[i]a[i]，然后返回 aIndex[a[i]]aIndex[a[i]]aIndex[a[i]]，正好可以得到一个有序的序列{0,1,2,3,4,5,6}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}{0,1,2,3,4,5,6}。

如果b==ab == ab==a ，那么从从 i=0i=0i=0 开始去遍历 b[i]b[i]b[i]，然后返回 aIndex[b[i]]aIndex[b[i]]aIndex[b[i]]，也应是一个有序的序列。但当b≠ab \neq ab=a 时，那么 aIndex[b[i]]aIndex[b[i]]aIndex[b[i]]便不是一个有序的序列。

令 $ bIndex[i] = aIndex[b[i]]$ ，将 $ bIndex[i] $ 从有序变无序的距离便是Kendall tau距离，也即是 $ bIndex[i] $ 中的逆序对数量。

通过上述推导，可将求两个序列的Kendall tau距离转为求映射变换后序列的逆序对数量，可通过归并排序求逆序对。代码如下：

class KendallTau:def __init__(self):self.count = 0def distance(self, a, b):if len(a) != len(b):return "a和b的数量不相等"n = len(a)aIndex = [0] * nfor i in range(n):aIndex[a[i]] = iprint(aIndex)bIndex = [0] * nfor j in range(n):bIndex[j] = aIndex[b[j]]print(bIndex)return self.mergeCount(bIndex)def mergeCount(self, a):self.count = 0self.mergeSort(a, 0, len(a) - 1)return self.countdef merge(self, a, l, mid, r):i = lj = mid + 1aux = []while i <= mid and j <= r:if a[i] > a[j]:aux.append(a[j])self.count += mid - i + 1j += 1else:aux.append(a[i])i += 1while i <= mid:aux.append(a[i])i += 1while j <= r:aux.append(a[j])j += 1i = lfor num in aux:a[i] = numi += 1def mergeSort(self, a, l, r):if l >= r:returnmid = l + r >> 1self.mergeSort(a, l, mid)self.mergeSort(a, mid + 1, r)self.merge(a, l, mid, r)if __name__ == '__main__':kt = KendallTau()a = [0, 3, 1, 6, 2, 5, 4]b = [1, 0, 3, 6, 4, 2, 5]res = kt.distance(a, b)print(res) # 4

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