Lambert漫反射模型

看了闫令琪的视频，这里简单总结一下。

首先有个很重要的漫反射概念：漫反射表示的是光线到达物体表面的某一点，在以它为中心的半球内被均匀反射。

经验公式

两个问题：

1.我们观察到的点，有多少光到达？

2.有多少光被反射？

从上图可以看出，当face旋转了60°后，同样到达top face（我这里定义成dA）的光量变成一般即cos(π/3) = 1/2。

可以得出结论：单位面积接收的光量和cosθ成正比。

我们还需要考虑面积到光源的衰减问题，如下图：

假设光源的功率是Φ，由于所有球面总共的能量也是Φ，那么每个球面单位面积的辐照度（irradiance）是：

$E = \frac{\Phi }{4\pi r^2}$

现在我们简化物理，把E简化成光照强度I(Intensity)。

半径为1的球面单位面积的Intensity是I，那么半径是r的球面的Intensity就是I / r²。

我们再定义一个反射系数 $k_d$ ，即到达的光有多少被反射

那么我们可以得出Lambert的Diffuse经验公式：

$L_d = k_d(I/r^2)max(0, n\cdot l)$

能量守恒下的漫反射

从经验公式可以看到，物体并不符合能量守恒。

怎样才符合能量守恒？

半球内任意一个方向的漫反射颜色的计算：

其中 $\rho _d$ 就是漫反射的比例系数。

由于漫反射是半球内的均匀反射，那么 $\rho _d * Incident \ Light \ Energy \ * \cos \theta$ 就是反射出去的radiance。

引入一个问题：

单位半球内的面积是是2π，为何ρ不是1/2π呢？

反射方程，计算的是半球到方向的反射，即hemispherical-directional reflectance。

那么反过来，也有方向到半球的反射，就入射光只是一个反向，但反射到半球内的所有方向，叫directional-heispherical reflectance，漫反射就是这种。

公式如下：

$R(l) = \int _{v} f(l,v)(n \cdot v) \mathrm{d}v$

R(l)是一个反射率，并不是radiance。由于漫反射是均匀反射，即f(l,v)是一个常数ρd。

在假定没有吸收的时候，上式的R(l) = 1，上式写成：

$\int _\Omega \rho _d\cos\theta dv = \rho _d\int _{\phi =0}^{2\pi } \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta sin\theta d\theta d\phi = 1$

$\rho _d\int _{\phi =0}^{2\pi } d\phi\int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta sin\theta d\theta = 1$

$\rho _d 2\pi \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}} sin\theta dsin\theta = 1$

$\rho _d 2\pi \left [ \frac{(sin\theta) ^2}{2} \right ]_{0} ^{\frac{\pi}{2}}= 1 \quad \Rightarrow \quad \pi\rho _d = 1$

求得：

$\rho _d = \frac{1}{\pi}$

================下面理解是错误的===================

那么半球内所有的基于漫反射的反射光的总和是：

要符合能量守恒，必须满足下面的不等式：

意思是反射光量的总和必须小于等于入射光量。

对半球做积分：

$\int _\Omega \rho _dL_icos\theta d\omega = \int _{\phi =0}^{2\pi } \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}\rho _dL_icos\theta sin\theta d\theta d\phi \leq L_i$

$\rho _dL_i\int _{\phi =0}^{2\pi } \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta sin\theta d\theta d\phi \leq L_i$

不等式移项得

$\rho _d\int _{\phi =0}^{2\pi } \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta sin\theta d\theta d\phi \leq 1$

$\rho _d\int _{\phi =0}^{2\pi } d\phi\int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}cos\theta sin\theta d\theta \leq 1$

$\rho _d 2\pi \int _{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}} sin\theta dsin\theta \leq 1$

$\rho _d 2\pi \left [ \frac{(sin\theta) ^2}{2} \right ]_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \pi\rho _d \leq 1$

最后得到

$\rho _d \leq \frac{1}{\pi}$

=================上面理解是错误的=================

所以Lambert的漫反射在能量守恒下，要除以π。