向量与矩阵（点线距离与交点）

2024-06-07 19:07:06

文章目录

一、向量
- 1.1 向量的范数（模）
- 1.2 向量点积（余弦相似度）
- 1.3 向量空间与线性相关
- 1.4 距离与交点
- - 直线公式推导
  - 点线距离
  - 两线交点
二、矩阵与线性变换
- 2.1 矩阵的加减—矩阵与实数乘运算
- 2.2 矩阵与向量运算
- 2.3 线性变换
- 2.4 正交矩阵
- 2.5 行列式
- 2.6 特征值与特征向量
- 2.7奇异值分解

一、向量

1.1 向量的范数（模）

1.2 向量点积（余弦相似度）

1.3 向量空间与线性相关

1.4 距离与交点

直线公式推导

设直线ｙ＝kx+bｙ＝kx+bｙ＝kx+b 上面两点（x1，y1）,（x2，y2）（x1，y1）,（x2，y2）（x1，y1）,（x2，y2）

y2=kx1+by1=kx2+b\begin{aligned} y_2 =& kx_1+b \\ y_1 =& kx_2+b \end{aligned} y2=y1=kx1+bkx2+b

由两式相减得：
y2−y1=k(x2−x1)k=y2−y1x2−x1\begin{aligned} y_2 - y_1 =& k(x_2-x_1)\\ k=& \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} \end{aligned} y2−y1=k=k(x2−x1)x2−x1y2−y1

则方程为：y=y2−y1x2−x1x+b\rm y = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}x+by=x2−x1y2−y1x+b 将（x2,y2）（x2,y2）（x2,y2）代入：
y2=y2−y1x2−x1x2+b==>b=y2−x2y2−y1x2−x1=y2(x2−x1)−x2(y2−y1)x2−x1=x2y2−x1y2−x2y2+x2y1x2−x1=x2y1−x1y2x2−x1\begin{aligned} y_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}x_2+b ==> b&=y_2-x_2\frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\\ & = \frac{y_2(x_2-x_1)-x_2(y_2 - y_1)}{x_2-x_1}\\ & = \frac{x_2y_2-x_1y_2-x_2y_2 + x_2y_1}{x_2-x_1}\\ & = \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2-x_1}\\ \end{aligned} y2=x2−x1y2−y1x2+b==>b=y2−x2x2−x1y2−y1=x2−x1y2(x2−x1)−x2(y2−y1)=x2−x1x2y2−x1y2−x2y2+x2y1=x2−x1x2y1−x1y2

则方程为：y=y2−y1x2−x1x+x2y1−x1y2x2−x1\rm y = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}x+\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2-x_1}y=x2−x1y2−y1x+x2−x1x2y1−x1y2

写成 Ax+By+C=0形式：(y2−y1)x−(x2−x1)y+x2y1−x1y2=0\rm (y_2 - y_1)x-(x_2-x_1)y + x_2y_1 - x_1y_2= 0(y2−y1)x−(x2−x1)y+x2y1−x1y2=0 即：
A=y2−y1B=x1−x2C=x2y1−x1y2\begin{aligned} A = &\rm y_2 - y_1 \\ B = &\rm x_1-x_2 \\ C = &\rm x_2y_1 - x_1y_2 \end{aligned} A=B=C=y2−y1x1−x2x2y1−x1y2

点线距离

两线交点

二、矩阵与线性变换

关于协方差计算：https://blog.csdn.net/wsp_1138886114/article/details/81005881

2.1 矩阵的加减—矩阵与实数乘运算

2.2 矩阵与向量运算

2.3 线性变换

奇异值分解 https://blog.csdn.net/wsp_1138886114/article/details/80967843

2.4 正交矩阵

2.5 行列式

2.6 特征值与特征向量

2.7奇异值分解

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