牛顿冷却定律--画像时间衰减系数

牛顿冷却定律知识点转自阮一峰博客：

http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/03/ranking_algorithm_newton_s_law_of_cooling.html

最近在整理构建用户画像的知识点，其中有一个关键因子叫时间衰减系数，套用到了牛顿冷却定律，那么牛顿冷却定律是什么鬼，便是这篇文章将要介绍的。

如果把用户对某款游戏的兴趣度衰减想象成一个自然冷却的过程，即：
（1）任一时刻，用户对于启动过的游戏，都有一个"当前温度"；

（2）随着时间流逝，所有玩过游戏的温度都将冷却。

（3）如果该游戏被启动一次，该游戏的偏好热度就上升一度。

这样假设的意义，在于我们可以照搬物理学的牛顿冷却定律，使用现成的公式，建立"温度"与"时间"之间的函数关系，轻松构建一个"指数式衰减"（Exponential decay）的过程。
"牛顿冷却定律"非常简单，用一句话就可以概况：物体的冷却速度，与其当前温度与室温之间的温差成正比。
数学公式表示为：
T' =-α(T-H)
其中，
-T(t)是温度（T）的时间（t）函数。微积分知识告诉我们，温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数T'(t)。
-H代表室温，T(t)-H就是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。
-常数α（α>0）表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的α值。

这是一个微分方程，为了计算当前温度，需要求出T(t)的函数表达式。

第一步，改写方程，然后等式两边取积分。
　　 $\frac{T'(t)}{T(t)-H}=-\alpha$
　　 $\int\frac{T'(t)}{T(t)-H}\,dt=\int(-\alpha)\,dt$
第二步，求出这个积分的解（c为常数项）。
　　 $ln(T(t)-H)=-\alpha t+c$
　　 $T(t)-H=e^{(-\alpha t+c)}$
　　 $T(t)=H+Ce^{-\alpha t}$
第三步，假定在时刻t ₀ ，该物体的温度是T(t ₀ )，简写为T ₀ 。代入上面的方程，得到
　　 $T_{0}=H+Ce^{-\alpha t_{0}}$

$C=(T_{0}-H)e^{\alpha t_{0}}$

第四步，将上一步的C代入第二步的方程。

$T=H+(T_{0}-H)e^{-\alpha(t-t_{0})}$

假定室温H为0度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为:

　　 $T=T_{0}e^{-\alpha(t-t_{0})}$
上面这个方程，就是我们想要的最终结果：
　　本期温度 = 上一期温度 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)
将这个公式用在用户画像标签的"时间衰减"，就相当于（假定本期没有增加该游戏启动行为次数）
　　本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷却系数) x 间隔的小时数)
其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后"冷却"为1分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值

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