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用ＭＡＴＬＡＢ计算某些区域上的二重积分

摘要：本文研究某些区域上二重积分数值积分公式的构造，数学软件MATLAB 实

现所构造的数值积分的计算，通过MATLAB 用所得公式计算某些典型的二重积分。

主要工作包括：将定积分数值计算的几个公式推广到二重积分，编制MATLAB 程

序，最后通过具体的数值算例进行精度比较，从中选出精度高的二重积分的计算

公式，并用公式计算一些典型的二重积分。

关键词：二重积分；数值计算；插值多项式；求积公式

1.引言

二重积分的计算在科学计算中起着重要的作用，关于矩形区域上的二重积分

的计算一般都是化重积分为累次积分，然后借助定积分已有的数值积分计算公式

推导出，MATLAB 已经有这些计算公式的相应的函数，但是往往我们建模得到的

二重积分的积分区域都不是矩形区域，对于一般的非矩形区域的二重积分，直接

用MATLAB 是无法计算的。又当被积函数比较复杂，无法用初等函数表示或求其

原函数很困难时，就只能求积分的数值解。

若在上连续，二重积分 f (x , y )dxdy 存在且为一确定的常数，这

f (x , y ) D ∫∫

个数值与的结构、的几何形状有关，二重积分计算的基本途径是在一

f (x , y ) D

定条件下化为二次积分，本文研究的某些区域的二重积分，要求二重积分在该区

域上能化为二次积分。

[1]

二重积分的存在性：在闭区域上连续，则 f (x ,y )dx dy 必存在。

f (x , y ) D ∫∫

[1]

定理：若f (x , y ) 在闭区域D {a ≤x ≤b ;c (x ) ≤ y ≤d (x )}上连续，且c(x) 、

d (x) 在[a,b]上连续，则：

b d ( x)

( , ) ( , )

I ∫∫f x y dxdy ∫ ∫( ) f x y dxdy

a c x

上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，在区

x y f (x , y ) x

间上对计算定积分(这时看作常数)，把得到的结果(是的函数)

[c(x),d (x)] x y y

再在 [a,b] 上对计算定积分即为二重积分。具体处理办法是设：

d ( x ) b

ϕ(x ) ∫ f (x , y )dy (1)，I ∫ϕ(x )dx (2)

c ( x ) a

计算二重积分转化为计算单次积分 (1)、(2)。

2.定积分的数值积分公式[2]

关于定积分，有Newton-Leibniz 公式:

∫a f (x )dx F (b ) =−F (a )

在实际问题中，往往会遇到被积函数的原函数无法用初等函数来表示，或有

的虽然能用初等函数表示，但过分复杂，这些情形都需要去建立定积分的近似计

算公式，也就是求积分的数值解。

定义数值积分如下：I n ( f ) 是离散点上的函数值的线性组合

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