理论 - 半波偶极子天线原理与计算

概述

半波偶极子天线是一种结构简单的基本线天线，也是一种经典的、迄今为止使用最广泛的天线之一。半波偶极子天线由两根直径和长度都相等的直导线组成，每根导线的长度为1/4个工作波长。导线的直径远小于工作波长，在中间的两个端点上由等幅反相的电压激励，中间端点之间的距离远小于工作波长，可以忽略不计。

1、电流分布

对于从中心馈电的偶极子天线，其两端为开路，故电流为零。工程上通常将其电流分布近似为正弦分布。假设将偶极子天线沿z轴方向放置，其中心位于坐标原点，如图所示

长度为lll的偶极子天线的电流分布可以表示为I(z)=I0sin⁡k(l−∣z∣)−l⩽z⩽lI(z)=I_{0} \sin k(l-|z|) \quad-l \leqslant z \leqslant lI(z)=I0sink(l−∣z∣)−l⩽z⩽l式中，I0I_{0}I0是波腹电流; kkk是波数，且k=2π/λk=2π/λk=2π/λ; lll是偶极子天线的长度。对于半波偶极子天线而言，其长度l=λ/4l=λ/4l=λ/4。把上述参数代入到上式中，则半波偶极子天线的电流分布可以改写为:I(z)=I0sin⁡(π2−kz)=I0cos⁡(kz)I(z)=I_{0} \sin \left(\frac{\pi}{2}-k z\right)=I_{0} \cos (k z)I(z)=I0sin(2π−kz)=I0cos(kz)

2、辐射场和方向图

已知半波偶极子天线上的电流分布，可利用叠加原理来计算半波偶极子天线的辐射场。半波偶极子天线可以看成是由长度为dz的电基本振子天线连接而成的，dz 这一小段天线上的电流等幅同相，但沿着Z轴的电流幅度是按I(z)=I0cos⁡(kz)I(z)=I_{0} \cos (k z)I(z)=I0cos(kz)分布的。电基本振子的远区辐射场为Eθ=jIdl2λrμ0ε0sin⁡θe−jkrE_{\theta}=\mathrm{j} \frac{I d l}{2 \lambda r} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r}Eθ=j2λrIdlε0μ0sinθe−jkr对此进行积分得半波偶极子天线的辐射场为Eθ=jdl2λrμ0ε0sin⁡θe−jkr[∫−λ/4λ/4I0cos⁡(kz)dz]E_{\theta}=\mathrm{j} \frac{d l}{2 \lambda r} \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}} \sin \theta \mathrm{e}^{-\mathrm{jkr}}\left[\int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} I_{0} \cos (k z) \mathrm{d} z\right]Eθ=j2λrdlε0μ0sinθe−jkr[∫−λ/4λ/4I0cos(kz)dz]整理可得Eθ=j60I0rcos⁡(π2cos⁡θ)sin⁡θe−jkr=j60I0rf(θ,φ)E_{\theta}=\mathrm{j} \frac{60 I_{0}}{r} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r}=\mathrm{j} \frac{60 I_{0}}{r} f(\theta, \varphi)Eθ=jr60I0sinθcos(2πcosθ)e−jkr=jr60I0f(θ,φ)其中f(θ,φ)=f(θ)=cos⁡(π2cos⁡θ)sin⁡θf(\theta, \varphi)=f(\theta)=\frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta}f(θ,φ)=f(θ)=sinθcos(2πcosθ)称为半波偶极子天线的方向性函数。
在电基本振子得辐射场中，电场分量EθE_{\theta}Eθ和磁场分量HφH_{\varphi}Hφ的比值为常数，将其称为波阻抗。对于自由空间而言，媒质的波阻抗为η0=EθHφ=μ0ε0=120πΩ\eta_{0}=\frac{E_{\theta}}{H_{\varphi}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=120 \pi \Omegaη0=HφEθ=ε0μ0=120πΩ故可求得半波偶极子天线的磁场为H=1η0e^r×E=jI02πrcos⁡(π2cos⁡θ)sin⁡θe−jkre^φ\boldsymbol{H}=\frac{1}{\eta_{0}} \widehat{\boldsymbol{e}}_{r} \times \boldsymbol{E}=\mathrm{j} \frac{I_{0}}{2 \pi r} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} k r} \widehat{\boldsymbol{e}}_{\varphi}H=η01er×E=j2πrI0sinθcos(2πcosθ)e−jkreφ
根据方向性函数可绘出半波偶极子天线的归一化场强方向图，在HHH平面（θ=90°\theta=90°θ=90°）极坐标方向图是一个圆。在EEE平面（φ\varphiφ为常数）中，辐射场强会随着角度θ\thetaθ的变化而变化，θ=±90∘\theta=\pm 90^{\circ}θ=±90∘方向上场强最大，θ=0∘\theta=0^{\circ}θ=0∘和θ=180∘\theta=180^{\circ}θ=180∘方向上场强为零。

3、方向性系数

天线的方向性系数DDD是指在远区场的某一球面上天线的辐射强度与平均辐射强度之比D(θ,φ)=U(θ,φ)U0D(\theta, \varphi)=\frac{U(\theta, \varphi)}{U_{0}}D(θ,φ)=U0U(θ,φ)式中，平均辐射强度UUU。实际上是辐射功率除以球面积，即:U0=14π∫02π∫0πU(θ,φ)sin⁡θdθdφU_{0}=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} U(\theta, \varphi) \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphiU0=4π1∫02π∫0πU(θ,φ)sinθdθdφ通常所说的方向性系数指的都是在最大辐射方向上的方向性系数，即:D=Umax⁡U0D=\frac{U_{\max }}{U_{0}}D=U0Umax代入方向性函数可计算出半波偶极子天线的功率方向性系数为D=114π∫02π∫0πcos⁡2θ(π2cos⁡θ)sin⁡2θsin⁡θdθdφ=1.64D=\frac{1}{\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{2} \theta\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi}=1.64D=4π1∫02π∫0πsin2θcos2θ(2πcosθ)sinθdθdφ1=1.64即DdB=10lg⁡(1.64)=2.15dBD_{\mathrm{dB}}=10 \lg (1.64)=2.15 \mathrm{~dB}DdB=10lg(1.64)=2.15 dB

4、辐射电阻

天线的平均功率密度可以用平均坡印廷矢量来表示，即:Sav=12(E×H∗)\boldsymbol{S}_{a v}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}^{*}\right)Sav=21(E×H∗)把半波偶极子天线的辐射电场和辐射磁场代入式，可得Sav=15I02πr2cos⁡2(π2cos⁡θ)sin⁡2θ\boldsymbol{S}_{a v}=\frac{15 I_{0}^{2}}{\pi r^{2}} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta}Sav=πr215I02sin2θcos2(2πcosθ)半波偶极子天线的辐射功率则为:Sr=∫sSavdS=∫02π∫0π15I02πr2cos⁡2θ(π2cos⁡θ)sin⁡2θr2sin⁡θdθdφ=36.6I02S_{r}=\int_{s} \boldsymbol{S}_{a v} \mathrm{~d} S=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{15 I_{0}^{2}}{\pi r^{2}} \frac{\cos ^{2} \theta\left(\frac{\pi}{2} \cos \theta\right)}{\sin ^{2} \theta} r^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi=36.6 I_{0}^{2}Sr=∫sSav dS=∫02π∫0ππr215I02sin2θcos2θ(2πcosθ)r2sinθdθdφ=36.6I02这里使用R,来表示辐射电阻，有:Pr=36.6I02=12I02RrP_{r}=36.6 I_{0}^{2}=\frac{1}{2} I_{0}^{2} R_{r}Pr=36.6I02=21I02Rr 可以计算出半波偶极子天线的辐射电阻为:Rr=73.2ΩR_{r}=73.2 \OmegaRr=73.2Ω

5、输入阻抗

根据基本的传输线理论，输入阻抗一般同时包含实部和虚部两部分，即为:Zin=Rin+jXinZ_{\mathrm{in}}=R_{\mathrm{in}}+\mathrm{j} X_{\mathrm{in}}Zin=Rin+jXin其中，实部电阻RinR_{\text{in}}Rin包含辐射电阻RrR_{\text{r}}Rr,和导体损耗所产生的导体电阻RσR_{\sigma}Rσ。对于良导体而言，导体电阻可以忽略，此时实部电阻仅包含辐射电阻，即为:Rin ≈RrR_{\text {in }} \approx R_{r}Rin ≈Rr由理论分析可知，偶极子天线在天线长度2l2l2l约为λ/2λ/2λ/2时，虚部电抗Xin=0X_{\mathrm{in}}=0Xin=0。若采用更精确的场论分析，当2l=0.48λ2l=0.48λ2l=0.48λ时，Xin=0X_{\mathrm{in}}=0Xin=0。综合以上的分析，对于半波偶极子天线而言，输入阻抗可以近似为:Zin≈Rr=73.2ΩZ_{\mathrm{in}} \approx R_{r}=73.2 \OmegaZin≈Rr=73.2Ω可见，半波偶极子天线的输入阻抗是纯电阻，易于和馈线匹配，这也是它被较多采用的原因之一。