插值算法在数学建模中是一个非常重要的算法，通常用来对已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要利用插值算法来“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

下面我来介绍数学建模比赛中常用的插值算法：拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值、三次样条插值等。

1. 拉格朗日插值法

一般地，若已知y = f(x)，在互不相同 n+1 个点X1,X2,...,Xn处的函数值y0,y1,y2...,yn,则可以考虑n+1个点的、次数不超过n的多项式y = Pn(x),使其满足：

要估计任一点ξ，ξ≠xi,i=0,1,2,...,n,则可以用Pn(ξ)的值作为准确值f(ξ)的近似值，此方法叫做“插值法”。

称式（*）为插值条件（准则），含xi(i=0,1,...,n)的最小区间[a,b]，其中a=min{x0,x1,...,xn}，b=max{x0,x1,...,xn}。

定理

满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。

构造拉格朗日插值多项式：

要构造拉格朗日插值多项式，那么需要先知道什么是拉格朗日插值多项式；

存在n个点：(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，存在一个函数f(x)经过这n个点，那么此时这个函数f(x)就称为拉格朗日插值多项式。

下面通过举例来简述构造方法：

1. 两个点：（x0,y0）,（x1,y1）构造一个函数f(x)经过这2个点。

$f(x) = \frac{x-x1}{x0-x1}y0+ \frac{x-x0}{x1-x0}y1$

不难发现，函数f(x)经过这2个点。

2. 三个点：（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）构造一个函数f(x)经过这3个点。

$f(x) = \frac{(x-x1)(x-x2)}{(x0-x1)(x0-x2)}y0+ \frac{(x-x0)(x-x2)}{(x1-x0)(x1-x2)}y1+ \frac{(x-x0)(x-x1)}{(x2-x0)(x2-x1)}y2$

$\omega n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)...(x-xn)$

${\omega }'n+1(xk)=(xk-x0)(xk-x1)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk-xn)$

$Lk(x) = \frac{(x-x0)...(x-xk-1)(x-xk+1)...(x-xn)}{(xk-x0)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk-xn)} =\frac{(x-x0)...(x-xk-1){\color{Red} (x-xk)}(x-xk+1)...(x-xn)}{{\color{Red} (x-xk)}(xk-x0)...(xk-xk-1)(xk-xk+1)...(xk-xn)} =\frac{\omega n+1(x)} {(x-xk){\omega }'n+1(xk)}$

$Ln(x)=\sum_{k=0}^{n}ykLi(x)$

Ln(x)为拉格朗日插值多项式。

以上公式中x后面的0，1，2，...，k,i,...,n,n+1全部都是下标。

2. 牛顿插值法

差商的定义：

称 $f[x0,xk]=\frac{f(xk)-f(x0)}{xk-x0}$ 为函数f(x)关于点x0，xk的一阶差商(亦称均差)。

二阶差商： $f[x0,x1,x2]=\frac{f[x1,x2])-f[x0,x1])}{x2-x0}$

K阶差商： $f[x0,x1,...,xk]=\frac{f[x1,x2,...,xk])-f[x0,x1,...,x(k-1)])}{xk-x0}$

牛顿插值法公式：

$f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))$

很明显，与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算具有继承性，也就是说在计算x3处的插值时，不会牵扯到x3后面数值的运算，只会应用到前面数值的运算。

这两种插值法都存在龙格现象，也就是在图形的两端处会波动增大，产生明显的震荡。

因此这两种插值法应用不多。

3. Hermite插值

原理：

4. 三次样条插值

matlab代码实现结果：

使用spline函数可实现

由结果可以看出，三次样条插值算法的曲线比Hermite插值算法所得到的曲线更为平滑。在实际应用中这两种插值算法都具有好的应用性。

如果对数学建模算法感兴趣的朋友，可以通过该链接(https://b23.tv/av20238704/p1 )去找资料学习数学建模相关算法。

【数学建模】插值算法相关推荐

清风数学建模——插值算法
插值算法作用(目的):在数学建模中,发现现有的数据是极少的,不足以支撑分析时,需要使用一些数学的方法,"模拟产生"一些新的但又比较靠谱的值来满足需求. 相关概念:插值函数,插值, ...
数学建模-插值算法（Matlab）
注意:代码文件仅供参考,一定不要直接用于自己的数模论文中国赛对于论文的查重要求非常严格,代码雷同也算作抄袭如何修改代码避免查重的方法:https://www.bilibili.com/video/ ...
清风数学建模---插值算法
数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,"模拟产生"一些新的但又比较靠谱的值 ...
数学建模——插值算法（分段三次埃尔米特插值、三次样条插值）思想及Matlab实现
数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据.模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,"模拟产生"一些新的但又比较靠谱的 ...
数学建模常见的一些方法【03插值算法】
文章目录数学建模常见的一些方法 1. 插值算法 1.1 插值法的定义 1.2 插值法的分类 1.3 一般插值多项式原理 1.4 拉格朗日插值法 1.5 龙格现象(Runge phenomenon) ...
Python小白的数学建模课-22.插值方法
Python小白的数学建模课-22.插值方法插值.拟合.回归和预测,都是数学建模中经常提到的概念,也经常被混淆. 插值,是在离散数据的基础上补插连续函数,使得插值函数通过全部给定的离散数据点,多用于 ...
数学建模比赛题型划分、常用算法及其适用场景
目录题型划分.常用算法及其适用场景常见赛题类型算法体系分类常用算法分类数据预处理模型及应用场景优化类模型及应用场景优化类模型: 聚类模型及应用场景评价模型及应用场景预测类模型及应用场 ...
【Python与数学建模】蒙特卡洛模拟仿真（附完整详细代码）
[Python与数学建模]蒙特卡洛模拟&仿真零.前言引例:投针实验试验描述: 试验分析: 代码实现蒙特卡洛模拟&仿真的基本介绍应用实例实例一.三门问题问题描述问题分析与 ...
python三次样条插值拟合的树行线_数学建模笔记——插值拟合模型(一)
啊好像距离上次写作又过了七天,啊好像我之前计划的一周两三篇,啊辣鸡小说毁我青春,啊我是一只可怜的鸽子. 不管怎样,我又回来了,并坚定地更新着hhh.再过两三天就是我们学校数学建模选拔,再过八九天就是期 ...
数学建模笔记——插值拟合模型（一）
啊好像距离上次写作又过了七天,啊好像我之前计划的一周两三篇,啊辣鸡小说毁我青春,啊我是一只可怜的鸽子. 不管怎样,我又回来了,并坚定地更新着hhh.再过两三天就是我们学校数学建模选拔,再过八九天就是期 ...

【数学建模】插值算法

1. 拉格朗日插值法

定理

2. 牛顿插值法

3. Hermite插值

4. 三次样条插值

【数学建模】插值算法相关推荐

最新文章

热门文章

【数学建模】 插值算法

1. 拉格朗日插值法

定理

2. 牛顿插值法

3. Hermite插值

4. 三次样条插值

【数学建模】 插值算法相关推荐

最新文章

热门文章

【数学建模】插值算法

【数学建模】插值算法相关推荐