有限元方法数学理论之分片一次多项式空间逼近理论

所谓有限元就是利用有限维解决无限维问题，既然提到有限维空间，我们总能找到一组基函数的线性组合来表示这个空间内的任一元素。

对于分片一次多项式空间内的基函数该是怎样的呢？下面就来讲述基函数构造问题。

对于区间[x1,xn+1]上进行剖分（均匀或者非均匀剖分），然后构造如下图的分段函数：

其中Ti(x)为分段基函数，分别在区间[xi-1,xi]和[xi,xi+1]上都为一次函数.

其中，基函数分段函数表达形式如下：

有兴趣的同学可以证明这组基函数是线性无关的，并且可以线性张成这个有限维分片一次多项式空间，不妨记这个空间为Vh,无限维的分片一次多项式空间V，可以看出Vh是V的子空间。对于任意uh(x)在Vh空间中，uh(x)都可以被{Ti(x)}线性表示，不妨记为如下：

其中ui是常数.我们利用上述基函数来解决如下泊松问题：

解上述线性方程组即可.为了求解方便，我们采用均匀剖分的情况，当然非均匀的采用遍历法即可。假设xi+1-xi=h(固定常数)。

现在的问题就是如何算这些内积，因为基函数是分段的，所以必须依赖于它们各自的区间进行。

注意，一个基函数最多与左右相邻的基函数有关系，其它的基函数在此区间上都为0，所以不予考虑；这样就能够把上述线性方程组求解出来，对于不同的n逼近效果不同，如果n(程序里我用的N表示)取得足够大，那么逼近效果将会非常好。下面我给出如下泊松方程的逼近情况:

逼近效果如下图：

可以看出当N=20的情况下逼近效果已经非常好了，这也说明有限元的做法确实可行，那么逼近过程中误差的收敛的情况如何呢？收敛阶是多少呢？如果学过有限元逼近理论应该知道，对于分片一次多项式逼近，其误差收敛阶在2阶左右（不同的误差度量，误差结果不一样，收敛阶也不完全相同，但都在2阶附近），感兴趣的同学可以自己去编程测试.

至此，分片一次多项式空间的逼近理论就暂时讲到这。不懂得请留言评论……

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