万径人踪灭万径人踪灭万径人踪灭

给出一个由 01 组成的字符串，问该字符串有多少不同的子序列满足：

子序列是一个回文序列
子序列不连续，即这个回文串不可以是原字符串上连续的子串

回文序列不仅要求值回文, 且要求位置回文.

正解部分\color{red}{正解部分}正解部分

Ans=num位置对称的回文子序列−num回文子串Ans = num_{位置对称的回文子序列} - num_{回文子串}Ans=num位置对称的回文子序列−num回文子串

设前者为 num1num_1num1, 后者为 num2num_2num2, 其中 num2num_2num2 可以通过 manachermanachermanacher 得出, 没学过的可以看这里 .

所以现在只需考虑 num1num_1num1 怎么计算 .

以整数位置 iii 为对称轴, 设满足 Si−j=Si+jS_{i-j}=S_{i+j}Si−j=Si+j 的字母对数为 kkk, 算上 Si=SiS_i = S_iSi=Si 总共产生了 2k+1−12^{k+1}-12k+1−1 种回文子序列, 那个 −1-1−1 是减去全部都不选的情况 .
以小数位置 iii 为对称轴, 设满足 Si−j=Si+jS_{i-j}=S_{i+j}Si−j=Si+j 的字母对数为 kkk, 则总共产生了 2k−12^k-12k−1 种回文子序列 .

构造多项式 Ai=[Si==′a′]A_i = [S_i==\ 'a']Ai=[Si== ′a′], 则

A2i2=∑a+b=2iAaAbA_{2i}^2=\sum\limits_{a+b=2i} A_aA_bA2i2=a+b=2i∑AaAb

于是 A2i2A_{2i}^2A2i2 就表示以 iii 位置为对称轴, Si−j=Si+j=′a′S_{i-j}=S_{i+j}='a'Si−j=Si+j=′a′ 的对数

于是 ⌈A2i22⌉\lceil \frac{A_{2i}^2}{2} \rceil⌈2A2i2⌉ 就表示以 iii 位置为对称轴, Si−j=Si+j=′a′S_{i-j}=S_{i+j}='a'Si−j=Si+j=′a′ 的对数

同理设 Bi=[Si==′b′]B_i = [S_i ==\ 'b']Bi=[Si== ′b′], ⌈B2i22⌉\lceil \frac{B_{2i}^2}{2} \rceil⌈2B2i2⌉就表示以 iii 为对称轴, Si−j=Si+j=′b′S_{i-j}=S_{i+j}='b'Si−j=Si+j=′b′ 的对数 .

然后 Ai2+Bi2A_i^2 + B_i^2Ai2+Bi2 就可以得到以 i/2i/2i/2 为对称轴, Si2−j=Si2+jS_{\frac{i}{2}-j}=S_{\frac{i}{2}+j}S2i−j=S2i+j 的对数 .

纵使 i/2i/2i/2 为小数也成立, 所以可以完美覆盖上方情况 .

实现部分\color{red}{实现部分}实现部分

其中多项式乘法可以使用 FFTFFTFFT 实现, 没学过的可以看这里 .

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
#define reg registerconst int maxn = 200005;
const int mod = 1e9 + 7;
const double Pi = acos(-1);int N;
int FFT_Len;
int pw[maxn];
int rev[maxn<<2];
int hw[maxn<<1];char S[maxn<<1];
char t[maxn<<1];struct complex{double x, y;complex(double x=0, double y=0):x(x), y(y) {}
} A[maxn<<2], B[maxn<<2];complex operator + (complex a, complex b){ return complex(a.x+b.x, a.y+b.y); }
complex operator - (complex a, complex b){ return complex(a.x-b.x, a.y-b.y); }
complex operator * (complex a, complex b){ return complex(a.x*b.x-a.y*b.y, a.x*b.y+a.y*b.x); }int Ksm(int a, ll b){int s = 1;while(b){if(b & 1) s = 1ll*s*a % mod;a = 1ll*a*a % mod; b >>= 1;}return s;
}int Manacher(){int res = 0;t[0] = '#';for(reg int i = 1; i <= N; i ++) t[i*2-1] = S[i], t[i*2] = '#';t[N*2+1] = '#';int Max_r = 0, mid = 0;for(reg int i = 1; i <= N<<1; i ++){if(i <= Max_r) hw[i] = std::min(hw[(mid<<1)-i], Max_r-i+1);while(i-hw[i] >= 0 && i+hw[i] <= (N<<1)+1 && t[i-hw[i]] == t[i+hw[i]]) hw[i] ++;if(i+hw[i]-1 > Max_r) Max_r = i+hw[i]-1, mid = i;res += hw[i]/2;  // !if(res >= mod) res -= mod;}return res;
}void FFT(complex *F, int opt){for(reg int i = 0; i < FFT_Len; i ++)if(i < rev[i]) std::swap(F[i], F[rev[i]]);for(reg int p = 2; p <= FFT_Len; p <<= 1){int half = p >> 1;complex t = complex(cos(Pi/half), opt*sin(Pi/half));for(reg int i = 0; i < FFT_Len; i += p){complex buf = complex(1, 0);for(reg int k = i; k < i+half; k ++){complex Tmp = buf * F[k + half];F[k + half] = F[k] - Tmp;F[k] = F[k] + Tmp;buf = buf * t;}}}
}int Calc(){int res = 0;for(reg int i = 1; i <= N; i ++) A[i].x = S[i]=='a', B[i].x = S[i]=='b';FFT_Len = 1; int bit_n = 0;while(FFT_Len <= (N<<1)) bit_n ++, FFT_Len <<= 1;for(reg int i = 0; i < FFT_Len; i ++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1) << bit_n-1);FFT(A, 1), FFT(B, 1);for(reg int i = 0; i < FFT_Len; i ++) A[i] = A[i]*A[i] + B[i]*B[i];FFT(A, -1);for(reg int i = 0; i < FFT_Len; i ++) A[i].x = (A[i].x + 0.5)/FFT_Len;pw[0] = 1;for(reg int i = 1; i <= N; i ++) pw[i] = 2ll*pw[i-1] % mod;for(reg int i = 1; i <= (N<<1)+1; i ++){ll t1 = (A[i].x + 1)/2;res += pw[t1] - 1;if(res >= mod) res -= mod;}return res;
}int main(){scanf("%s", S+1);N = strlen(S+1);int p = Manacher();printf("%d\n", (1ll*Calc()-p+mod)%mod);return 0;
}

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P4199 万径人踪灭 [Manacher + FFT]

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