[AGC001 D]Arrays and Palindrome
题意
对于一对数组\(a_i\)和\(b_i\),满足\(\sum\limits_{i=1}^{k_a}a_i=\sum\limits_{i=1}^{k_b}b_i=N\),而且对于所有长度为\(N\)的字符串,如果在满足下列两个条件的前提下:
对于前\(a_1\)个,接下来\(a_2\)个,再接下去\(a_3\)个……都是回文串
对于前\(b_1\)个,接下来\(b_2\)个,再接下去\(b_3\)个……都是回文串
同时还必然满足这个字符串一定全部字符都一样。如果只有原来\(a_i\)的一个排列,求一种这个\(a_i\)数组和相应的\(b_i\)数组。注意可能不存在。
- \(N\leq 10^5\)
- \(k_a \leq 100\)
- \(A_i\leq 10^5\)
分析
先考虑\(k_a\)比较小的情况,例如\(k_a=1\),这个时候可以发现我们只需要让回文串错一位就可以了。
对于\(k_a=2\),考虑我们从那个中间分隔的点开始往外直接扩展,实际上只要覆盖到两边回文串中间的那个点,然后剩下来的直接随便覆盖就可以了(因为就这一些已经将两个回文串“连接”在了一起),这是一个思路,但是比较难以实现。
更加直接的思路(按照题解),还是按照错位,我们考虑实际上只需要将中间那个分割点向左边移动一下,那也是能够相应建立关系的。
按照这个思路,我们应该可以进一步地考虑推广!我们应该可以按照这个思路,只需要取\(b=\{a_1-1,a_2,\cdots,a_{k_a-1},a_{k_a}+1\}\),这种答案的构造方法,除非是中间的数是偶数,否则都是可以的。
那么当存在大量偶数的时候有没有可能构造出一个相应的解呢?我们考虑设\(a\)里面偶数有\(O_a\)个,\(b\)里面偶数有\(O_b\)个,那么边数是\(\frac{N-O_a}{2}+\frac{N-O_b}{2}\),考虑如果我们要让这\(N\)个点连通,我们肯定至少需要\(N-1\)条边,那么也就是\(\frac{N-O_a}{2}+\frac{N-O_b}{2}\geq N-1\),这个不等式算出来是\(O_a+O_b\leq 2\)……于是我们发现不可能偶数多于\(2\)个。如果满足的话那一定可以将这两个偶数调到最前和最后。
那么我们只要扫一遍就可以得到了。回顾一下思路,我们从\(k_a=1\)的情况推出了错位的思路,然后进一步推广到了一般情况,同时对于一种看上去比较特殊的情况得出了解。最后,我们证明了剩下的情况没有解,实际上也就是说因为有偶数,所以相当于要浪费一部分边去专门将偶数导走,然后整个图就无法导通。
注意在写的时候有可能会出现减出\(0\)的情况,所以需要再判一下边界情况。
# include <bits/stdc++.h>
# define il inline
# define fi first
# define se second
# define pb push_back
# define mem(x,v) memset(x,v,sizeof x)
# define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
# define re(i,x,y) for (int i=x;i<y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
il ll read(){ll x=0; char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';return x;
}
const int maxm = 100+10;
int n,m;
int a[maxm];
vector<int> b;
int main(){n=read(); m=read();rep(i,1,m) a[i]=read();if (m == 1){b.pb(1); b.pb(n-1);}else{int cnt = 0;rep(i,1,m) cnt += a[i] % 2;if (cnt > 2){puts("Impossible"); return 0;}rep(i,2,m-1)if (a[i]%2==1){if (a[1]%2==0)swap(a[1],a[i]);else swap(a[m],a[i]);}b.pb(a[m]+1);for (int i=m-1;i>1;--i) b.pb(a[i]);b.pb(a[1]-1);}rep(i,1,m) printf("%d ",a[i]); printf("\n");int bs=b.size();if (b[bs-1] == 0)--bs;printf("%d\n",bs);for (int i=bs-1;i>=0;--i) printf("%d ",b[i]); printf("\n");return 0;
}
转载于:https://www.cnblogs.com/wendavid/p/8982266.html
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